Fórmula de la coárea

Esta última semana mi director nos ha estado dando un pequeño seminario sobre integración en variedades. Concretamente, sobre la fórmula de la coárea, que es una herramienta muy útil mediante la cual podemos calcular de forma muy sencilla un montón de volúmenes de variedades, como por ejemplo las esferas euclídeas, las bolas, el espacio proyectivo o el grupo ortogonal. Además, la fórmula de la coárea admite como casos particulares algunos resultados importantes como el teorema del cambio de variable o el teorema de Fubini. En esta entrada quiero enseñar varios ejemplos de aplicación de la fórmula.

La fórmula de la coárea dice lo siguiente:

Teorema (Fórmula de la coárea). Sea $\Phi:\mathcal{M}\rightarrow \mathcal{N}$ una aplicación entre variedades riemannianas satisfaciendo:

1. $\Phi$ es sobreyectiva.
2. $D\Phi(x)$ es sobreyectiva para casi todo $x\in \mathcal{M}$.

Dada una función $f:\mathcal{M}\rightarrow [0,\infty]$ medible o $f:\mathcal{M}\rightarrow [-\infty,\infty]$ integrable, se tiene que

$$\int_{x\in \mathcal{M}}f(x)dx = \int_{y\in\mathcal{N}}\int_{x\in \Phi^{-1}(y)} \frac{f(x)}{NJ\Phi(x)}dxdy,$$

donde $NJ\Phi(x)$ es el jacobiano normal

$$NJ\Phi(x) = |\det D\Phi(x)|_{\ker D\Phi(x)^\perp}|.$$

Para calcular el jacobiano normal podemos escoger una base cualquiera $\{\alpha_i\}$ del ortogonal al núcleo de la diferencial y en esta base tenemos que

$$NJ\Phi(x) = \frac{\sqrt{|\det (\langle D\Phi(x)\alpha_i,D\Phi(x)\alpha_j\rangle)_{ij}|}}{\sqrt{|\det(\langle \alpha_i,\alpha_j\rangle)_{ij}|}}.$$

En particular, el cálculo se hace más sencillo si la base escogida es ortonormal.

Si $\Phi$ es un difeomorfismo, entonces el jacobiano normal $NJ\Phi(x)$ es el jacobiano usual $J\Phi(x)$ y $\frac{1}{J\Phi(x)} = J\Phi(x)^{-1}$. En este caso, la fórmula de la coárea nos dice que

$$\int_{x\in \mathcal{M}}f(x)dx = \int_{y\in \mathcal{N}}\int_{x\in \Phi^{-1}(y)}f(x)J\Phi(x)^{-1}dxdy = \int_{y\in \mathcal{N}}f(\Phi^{-1}(y))J\Phi(\Phi^{-1}(y))^{-1}dy,$$

y obtenemos el teorema del cambio de variable. El teorema de Fubini se obtiene considerando la proyección $\Phi:\mathcal{M}\times\mathcal{N}\rightarrow \mathcal{M}$, $\Phi(x,y) = x$. Tomando una base ortonormal $\{\alpha_i\}$ de $T_x\mathcal{M}$ y una base ortonormal $\{\beta_j\}$ de $T_y\mathcal{N}$, obtenemos una base ortonormal $\{\alpha_i,\beta_j\}$ de $T_{(x,y)}\mathcal{M}\times\mathcal{N}$ que se aplica por la diferencial de la proyección en la base ortonormal $\{\alpha_i\}$, luego en este caso $NJ\Phi(x,y) = 1$. Aplicando la fórmula de la coárea,

$$\int_{(x,y)\in \mathcal{M}\times\mathcal{N}}f(x,y)d(x,y) = \int_{z\in \mathcal{M}}\int_{(x,y)\in \Phi^{-1}(z)} f(x,y)d(x,y)dz = \int_{z\in \mathcal{M}}\int_{\{z\}\times\mathcal{N}}f(z,y)dydz.$$

Más en general, si $\Phi:\mathcal{M}\rightarrow \mathcal{N}$ es una submersión riemanniana, entonces $D\Phi(x)|_{\ker D\Phi(x)^\perp}$ es una isometría, por lo que $NJ\Phi(x) = 1$ y

$$\int_{x\in \mathcal{M}}f(x)dx = \int_{y\in \mathcal{N}}\int_{x\in \mathcal{M}_y}f(x)dxdy.$$

Veamos ahora aplicaciones de la fórmula de la coárea al cálculo de volúmenes. Calculemos el volumen de la esfera $\mathbb{S}^n$. Para ello necesitaremos el siguiente lema:

Lema. Sea $\Phi_k:\mathbb{S}^n \subset \mathbb{R}^{n+1} \rightarrow B_{\mathbb{R}^k}(0,1)$ la proyección de la esfera en la bola unidad dada por

$$\Phi_k(x_1, ..., x_{n+1}) = (x_1, ..., x_k).$$

Se tiene que

$$NJ\Phi_k(x) = \sqrt{1-\|\Phi_k(x)\|^2}.$$

Por ejemplo, si $k = 2$, aplicando la fórmula de la coárea tenemos que

$$\text{vol}(\mathbb{S}^n) = \int_{x\in \mathbb{S}^n}1dx = \int_{y\in B_{\mathbb{R}^2}(0,1)}\int_{x\in \Phi_2^{-1}(y)}\frac{1}{\sqrt{1-\|\Phi_2(x)\|^2}}dxdy$$

La fibra $\Phi_2^{-1}(y)$ en este caso es una esfera $\mathbb{S}^{n-2}(\sqrt{1-\|y\|^2})$ de dimensión $n-2$ y radio $\sqrt{1-\|y\|^2}$ cuyo volumen es

$$\text{vol}(\mathbb{S}^{n-2}(\sqrt{1-\|y\|^2})) = (\sqrt{1-\|y\|^2})^{n-2}\text{vol}(\mathbb{S}^{n-2}).$$

Entonces

$$= \int_{y\in B_{\mathbb{R}^2}(0,1)}\int_{y\in \mathbb{S}^{n-2}(\sqrt{1-\|y\|^2)}}\frac{1}{\sqrt{1-\|y\|^2}}dxdy = \int_{y\in B_{\mathbb{R}^2}(0,1)}\text{vol}(\mathbb{S}^{n-2})(\sqrt{1-\|y\|^2})^{n-3}dy$$

Cambiando a coordenadas polares en $\mathbb{R}^2$, tenemos que

$$= 2\pi\text{vol}(\mathbb{S}^{n-2})\int_0^1 \rho(\sqrt{1-\rho^2})^{n-3}d\rho$$

Haciendo el cambio de variable $\rho^2 = t$, $2\rho d\rho = dt$,

$$= \pi \text{vol}(\mathbb{S}^{n-2})\int_0^1 (1-t)^{\frac{n-3}{2}}dt = \pi\text{vol}(\mathbb{S}^{n-2})\left[\frac{(1-t)^{\frac{n-1}{2}}}{\frac{n-1}{2}}\right]_1^0 = \frac{2\pi}{n-1}\text{vol}(\mathbb{S}^{n-2}).$$

En resumen, hemos probado que

$$\text{vol}(\mathbb{S}^n) = \frac{2\pi}{n-1}\text{vol}(\mathbb{S}^{n-2}).$$

Teniendo en cuenta que $\text{vol}(\mathbb{S}^0) = 2$ y que $\text{vol}(\mathbb{S}^1) = 2\pi$, podemos usar esta recurrencia para calcular el volumen de cualquier esfera:

$$\text{vol}(\mathbb{S}^0) = 2, \text{vol}(\mathbb{S}^1) = 2\pi, \text{vol}(\mathbb{S}^2) = 4\pi, \text{vol}(\mathbb{S}^3) = 2\pi^2, \text{vol}(\mathbb{S}^4) = \frac{8\pi^2}{3}, ...$$

Por inducción se demuestra que

$$\text{vol}(\mathbb{S}^n) = \frac{2\pi^{\frac{n+1}{2}}}{\Gamma(\frac{n+1}{2})}.$$

Podemos calcular también el volumen de la bola unidad $B_{\mathbb{R}^n}(0,1)$. Para ello, consideremos la aplicación $\Phi:B_{\mathbb{R}^n}(0,1) \rightarrow (0,1)$ dada por $x\mapsto \|x\| = d(0,x)$. En este caso el espacio ortogonal al núcleo está generado por el gradiente $\nabla\Phi(x)$ y

$$D\Phi(x)\nabla\Phi(x) = \langle \nabla\Phi(x),\nabla\Phi(x)\rangle = \|\nabla\Phi(x)\|^2 = 1,$$

ya que $\Phi$ es una función distancia y por lo tanto tiene gradiente unitario. Esto quiere decir que $NJ\Phi(x) = 1$. Aplicando la fórmula de la coárea,

$$\text{vol}(B_{\mathbb{R}^n}(0,1)) = \int_{x\in B_{\mathbb{R}^n}(0,1)}1dx = \int_{y\in (0,1)}\int_{x\in \Phi^{-1}(y)}1dxdy.$$

La fibra $\Phi^{-1}(y)$ es una esfera $\mathbb{S}^{n-1}(y)$ de dimensión $n-1$ y radio $y$, cuyo volumen es $y^{n-1}\text{vol}(\mathbb{S}^{n-1})$. Por lo tanto,

$$= \int_0^1 \int_{x\in \mathbb{S}^{n-1}(y)}1dxdy = \int_0^1 y^{n-1}\text{vol}(\mathbb{S}^{n-1})dy = \frac{\text{vol}(\mathbb{S}^{n-1})}{n-1}.$$

Es decir,

$$\text{vol}(B_{\mathbb{R}^n}(0,1)) = \frac{\text{vol}(\mathbb{S}^{n-1})}{n-1}.$$

También podemos usar la fórmula de la coárea para calcular el volumen del espacio proyectivo real $\mathbb{R}P^n$. La aplicación del cociente $\Phi:\mathbb{S}^n \rightarrow \mathbb{R}P^n$ es una submersión riemanniana, por lo que $NJ\Phi(x) = 1$, y la fibra $\Phi^{-1}(y)$ de $y\in \mathbb{R}P^n$ consiste en dos puntos antipodales en la esfera. Por tanto, aplicando la fórmula de la coárea,

$$\text{vol}(\mathbb{S}^n) = \int_{x\in \mathbb{S}^n}1dx = \int_{y\in \mathbb{R}P^n}\int_{x\in \Phi^{-1}(y)}1dxdy = \int_{y\in \mathbb{R}P^n}2dy = 2\text{vol}(\mathbb{R}P^n).$$

En consecuencia,

$$\text{vol}(\mathbb{R}P^n) = \frac{1}{2}\text{vol}(\mathbb{S}^n).$$

Por último, vamos a calcular el volumen del grupo ortogonal $O(n)$, que es una variedad compacta que tiene su volumen finito bien definido. En primer lugar, consideremos la aplicación

$$f:GL(n,\mathbb{R}) \rightarrow Sym(n,\mathbb{R})$$

del grupo lineal general en la variedad de matrices simétricas de tamaño $n$, dada por $A \mapsto A^TA$. La matriz identidad $I$ es un valor regular de esta aplicación y $O(n) = f^{-1}(I)$. Para calcular el espacio tangente a $O(n)$, observamos que la métrica $\langle A,B\rangle = \text{tr}(A^TB)$ es invariante al multiplicar a izquierda por matrices ortogonales, ya que para cualquier matriz ortogonal $O$ se tiene que

$$\langle OA,OB\rangle = \text{tr}((OA)^T(OB)) = \text{tr}(A^TO^TOB) = \text{tr}(A^TB) = \langle A,B\rangle.$$

Es decir, que las traslaciones a izquierda actúan transitivamente por isometrías. Esto significa que basta con calcular el espacio tangente en la identidad. El espacio tangente está dado por

$$T_AO(n) = \{\dot{A}\in \mathbb{R}^{n\times n}\ :\ Df(A)\dot{A} = 0\},$$

con

$$Df(A)\dot{A} = \dot{A}^TA+A^T\dot{A}.$$

En particular,

$$T_IO(n) = \{\dot{A}\in \mathbb{R}^{n\times n}\ :\ \dot{A}^T+\dot{A} = 0\} = Skew(n,\mathbb{R}),$$

el espacio de matrices antisimétricas. Denotemos por $\tilde{O}(n,1)$ el espacio de matrices de tamaño $n\times(n-1)$ cuyas columnas son vectores ortonormales de $\mathbb{R}^n$, y sea $\Phi_0:O(n) \rightarrow \tilde{O}(n,1)$ la aplicación que proyecta una matriz ortogonal sobre sus $n-1$ primeras columnas. Dado que $GL(n,\mathbb{R})$ tiene dimensión $n^2$ y $Sym(n,\mathbb{R})$ tiene dimensión $n(n+1)/2$, $O(n)$ tiene dimensión

$$\dim O(n) = n^2-\frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n-1)}{2}.$$

Denotando por $\Delta_{ij}$ la matriz cuadrada de tamaño $n$ que tiene un $1$ en la posición $(i,j)$ y un $-1$ en la posición $(j,i)$, las matrices

$$V_{ij} = \frac{1}{\sqrt{2}}\Delta_{ij}$$

forman una base ortonormal de $T_IO(n)$, $1 \leq i < j \leq n$. De estas matrices, aquellas con $j = n$ se aplican en $0$ por la diferencial $D\Phi_0(I)$ y el resto se aplican en una base ortonormal. Por lo tanto $NJ\Phi_0(I) = 1$, y también es igual a $1$ en el resto de puntos porque las traslaciones a izquierda actúan transitivamente por isometrías. Aplicando la fórmula de la coárea,

$$\text{vol}(O(n)) = \int_{x\in O(n)}1dx = \int_{y\in \tilde{O}(n,1)}\int_{x\in \Phi_0^{-1}(y)}1dxdy.$$

La fibra $\Phi_0^{-1}(y)$ de $y\in \tilde{O}(n,1)$ consiste en todas aquellas matrices de la forma $(y,a)$, donde $a\in \mathbb{R}^n$ es un vector unitario y ortogonal a todas las $n-1$ columnas de $y$. Hay dos vectores cumpliendo esta condición, por lo que podemos identificar la fibra con la esfera $\mathbb{S}^0$. Entonces

$$=\int_{y\in \tilde{O}(n,1)}\int_{x\in \mathbb{S}^0}1dxdy = \text{vol}(\mathbb{S}^0)\int_{y\in \tilde{O}(n,1)}1dy.$$

Dado $0 \leq k < n$, denotemos por $\tilde{O}(n,k)$ el espacio de matrices de tamaño $n\times(n-k)$ cuyas $n-k$ columnas son vectores ortonormales de $\mathbb{R}^n$. Consideremos la aplicación

$$\Phi_k:\tilde{O}(n,k) \rightarrow \tilde{O}(n,k+1)$$

que proyecta en las $n-k-1$ primeras columnas. Razonando de manera análoga al caso de $\Phi_0$ podemos ver que $NJ\Phi_k \equiv 1$. En este caso la fibra $\Phi_k^{-1}(y)$ de $y\in \tilde{O}(n,k+1)$ está compuesta por todas las matrices de la forma $(y,a)$, donde $a\in \mathbb{R}^n$ es un vector unitario ortogonal a las $n-k-1$ columnas de $y$. Podemos identificar la fibra con una esfera unidad $\mathbb{S}^k$ y aplicar la fórmula de la coárea para obtener

$$\int_{x\in \tilde{O}(n,k)}1dx = \int_{y\in \tilde{O}(n,k+1)}\int_{x\in \mathbb{S}^k}1dxdy = \text{vol}(\mathbb{S}^k)\int_{y\in \tilde{O}(n,k+1)}1dy.$$

Finalmente $\tilde{O}(n,n-1)$ es el espacio de vectores unitarios en $\mathbb{R}^n$, es decir, $\tilde{O}(n,n-1) = \mathbb{S}^{n-1}$. Aplicando inducción obtenemos que

$$\text{vol}(O(n)) = \prod_{k=0}^{n-1}\text{vol}(\mathbb{S}^k).$$