jueves, 28 de mayo de 2015

Topología a partir de propiedades métricas locales

Hace tiempo que tenía pendiente escribir una entrada mostrando una «prueba de existencia» de que se pueden decir cosas sobre la forma global del Universo a partir de ciertas hipótesis que los físicos consideran razonables y de mediciones locales. La topología, la forma, es una propiedad global en el sentido de que todas las variedades topológicas, vistas muy de cerca, son homeomorfas al espacio euclídeo, indistinguibles unas de otras si no nos alejamos lo suficiente como para ver el cuadro en su conjunto. Por este motivo puede resultar sorprendente que en algunas revistas de divulgación científica aparezcan de vez en cuando artículos afirmando que el Universo tiene tal o cual forma, según los últimos datos experimentales.

La prueba de existencia que expongo aquí es el Teorema de Gauss-Bonnet, un resultado que relaciona la curvatura de una superficie diferenciable con su topología.


La curvatura de una superficie $S$ es una función $K$ que asocia a cada punto de $S$ un número real, que puede ser positivo, negativo o cero. Su definición formal llevaría algo de trabajo, pero para esta entrada nos vale con quedarnos con la siguiente idea intuitiva: imaginemos una superficie dentro del espacio euclídeo de dimensión 3 y un punto en la superficie. Imaginemos también una serie de curvas que salen del punto en todas direcciones. Pueden ocurrir tres situaciones distintas:

  • Si todas las curvas se curvan en la misma dirección, entonces decimos que la curvatura es positiva.

  • Si existe al menos una curva que no se curve nada, que sea como una recta, entonces decimos que la curvatura es cero. Este es el caso de un plano, pero también de un cilindro.
  • Si hay dos curvas que se curvan en direcciones opuestas, entonces decimos que la curvatura es negativa.



Una esfera tal y como nos la imaginamos, un balón de fútbol, tiene curvatura positiva en todos sus puntos y además esta curvatura es constante. Un balón de rugby también tiene curvatura positiva en todos sus puntos, pero la curvatura es más grande en los extremos, que son más agudos, que en la zona media del balón.
El toro es un objeto geométrico interesante porque tiene curvaturas de todos los signos en diferentes puntos.
En la parte exterior del toro todas las curvas que salen de un punto se curvan hacia el mismo lado, por lo que la curvatura aquí es positiva. En la parte interior, por el contrario, las curvas que salen de un punto se curvan en direcciones opuestas, así que la curvatura es negativa.

Si tomamos una esfera y la deformamos un poco, podemos conseguir un huevo.
Así como la esfera tiene una curvatura positiva constante, el huevo tiene un punto que está más curvado que el resto. Hemos conseguido aumentar la curvatura en un cierto punto deformando un poco la esfera. Sin embargo, no nos ha salido gratis: en la zona que está un poco por debajo de la cúspide del huevo, la superficie se ha aplanado un poco. Hemos tenido que reducir un poco la curvatura en esa parte. El Teorema de Gauss-Bonnet dice, grosso modo, que cuando deformamos un poco una superficie cerrada, la curvatura total de la superficie se mantiene constante. Que si aumentamos un poco la curvatura en algún punto, es a costa de reducirla en algún otro punto. Más aún, el Teorema de Gauss-Bonnet afirma que esta curvatura total constante está determinada por la topología de la superficie. Concretamente, si $S$ es una superficie cerrada y orientable, entonces
$$\int_S K dA = 2\pi \chi(S),$$

donde $\chi(S)$ es la característica de Euler de la superficie, que indica el número de agujeros. Lo que dice la fórmula anterior es que la «suma» de las curvaturas de todos los puntos es siempre la misma en todas las esferas por muy ahuevadas que puedan estar. Si sumamos curvatura en un cierto punto, tenemos que restar en otro.

El teorema nos permite sacar conclusiones sobre la topología de $S$ conociendo sus curvaturas en todos los puntos. Por ejemplo, como la característica de Euler de la esfera es $2$, la curvatura total en cualquier esfera (ahuevada o no) siempre es $4\pi$. Esto significa que una esfera no puede tener nunca una curvatura que sea negativa o cero en todos sus puntos. Podemos deformarla para que tenga curvatura negativa en algunos puntos, pero nunca podremos hacer que sea así en todos los puntos.

Otro corolario que podemos extraer es que un toro (deformado o no) nunca puede tener todos sus puntos con curvatura estrictamente positiva o todos sus puntos con curvatura estrictamente negativa, ya que como la característica de Euler de un toro es $0$, la integral de la curvatura debe ser también $0$.

¿Qué nos puede decir esto sobre la forma del Universo? El Teorema de Gauss-Bonnet no nos dice nada porque el Universo no es una superficie, no tiene dimensión 2. Sin embargo, supongamos que el Universo es, efectivamente, una superficie y que, como dicen los físicos, es homogéneo e isótropo (igual en todos los puntos y todas las direcciones). Supongamos que hacemos una medición de la curvatura desde una sonda espacial y nos sale que la curvatura en ese punto es positiva. Entonces, como el Universo es igualito en todos sus puntos, la curvatura debe ser también positiva en todos los puntos. Aplicando el Teorema de Gauss-Bonnet, el Universo no es un toro. Por el contrario, si la medición diera como resultado que la curvatura es negativa, entonces deduciríamos que el Universo no es una esfera.

1 comentario:

  1. Excelente aclaración. Imaginaba una curvatura negativa como una esfera pero en otra dimensión, pero era demasiado extremista jaja. Saludos.

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