Estos últimos días me ha dado por leer notas y ver clases en Youtube de teoría de categorías. Como al principio todo es muy sencillo de definir, cuando me había interesado por el tema en anteriores ocasiones había avanzado muy rápido creyendo entenderlo todo. Sin embargo, quizá porque uno madura, esta vez me lo he tomado con mucha más calma y he descubierto que en esta materia es posible disfrutar con las definiciones más elementales. Probablemente lo que me resulta más emocionante es tomar una definición categórica y ver qué significa en distintas categorías conocidas. Los resultados muchas veces son sorprendentes y conectan conceptos matemáticos que aparentemente no tienen nada que ver.
En esta entrada quiero hablar de una construcción muy sencilla, los productos, que son una especie de generalización del producto cartesiano de conjuntos a otras categorías. Cuando una categoría tiene como objetos unos "conjuntos con estructura" (espacios topológicos, espacios vectoriales, grupos, anillos...), suele ser fácil describir el producto de dos objetos. Normalmente el conjunto base para el producto es el producto cartesiano de los conjuntos base y la estructura del producto es un "producto sensato" de las estructuras. Sin embargo, cuando los objetos de una categoría no son conjuntos, no hay noción de producto cartesiano y, por tanto, no hay una manera tan evidente de definir el producto de dos objetos.
La definición categórica de producto intenta capturar las propiedades intrínsecas del producto cartesiano en el sentido de que caracteriza el producto cartesiano sin hablar de conjuntos, sólo en términos de objetos y morfismos. De este modo, la definición puede ser aplicada en cualquier categoría. ¿Qué es entonces un producto?
Definición: Sea $\mathcal{C}$ una categoría y sean $A$ y $B$ objetos de $\mathcal{C}$. El producto de $A$ y $B$ (si es que existe), es otro objeto $P$ de $\mathcal{C}$ junto con dos morfismos $p_1:P \rightarrow A$ y $p_2:P \rightarrow B$ llamados proyecciones
Además, esta estructura formada por $P$, $p_1$ y $p_2$ tiene que ser, en algún sentido, "la mejor". Por ello se pide que se cumpla la siguiente propiedad universal: para todo objeto $X$ de $\mathcal{C}$ y cada par de morfismos $f:X \rightarrow A$ y $g:X \rightarrow B$, existe un único morfismo $h:X \rightarrow P$ de tal modo que el siguiente diagrama es conmutativo:
La propiedad universal, la existencia de un único morfismo $h$, le otorga al producto un carácter canónico porque implica que, si bien el producto de dos objetos puede no ser único, es único salvo un único isomorfismo. En otras palabras: si $P$ y $P'$ son dos objetos que cumplen la definición anterior, entonces existe un único isomorfismo $\varphi:P \rightarrow P'$. Ya no es sólo que sean isomorfos, sino que son canónicamente isomorfos porque existe un y sólo un isomorfismo entre ellos. ¿Cómo se demuestra esto? Es fácil, aunque como en muchas de las demostraciones de esta materia, es más fácil contarlo interactivamente en una pizarra que escribirlo. Por dar una idea, consideremos el diagrama
Como $P$ es un producto, existe un único morfismo $\psi:P' \rightarrow P$ que hace el diagrama conmutativo. Análogamente, si cambiamos en el diagrama $P$ por $P'$, existe un único morfismo $\varphi:P \rightarrow P'$ que hace el diagrama correspondiente conmutativo. Estos son los morfismos que determinan el único isomorfismo entre $P$ y $P'$. Para demostrar que son de hecho isomorfismos lo que se hace es considerar las composiciones $\psi \circ \varphi$ y $\varphi \circ \psi$ y ver que son iguales, respectivamente, a los morfismos identidad $1_P$ y $1_{P'}$. Para hacer esto se construyen otros dos diagramas, uno con $P$ arriba y abajo y otro con $P'$ arriba y abajo, que permiten concluir que los morfismos punteados correspondientes son los respectivos morfismos identidad. Por unicidad, $\psi \circ \varphi = 1_P$ y $\varphi \circ \psi = 1_{P'}$.
Visto esto, veamos algunos ejemplos. En la categoría Set de conjuntos y aplicaciones conjuntistas, el producto de dos conjuntos cualesquiera $A$ y $B$ existe y es el producto cartesiano $A \times B$ junto con las proyecciones usuales. Veamos que cumple la definición de producto:
Dado un conjunto $X$ y dos aplicaciones $f:X \rightarrow A$, $g:X \rightarrow B$, ¿es verdad que existe una única aplicación $h:X \rightarrow A \times B$ que haga conmutativo el diagrama? Si definimos $h:X \rightarrow A \times B$ como $h(x) = (f(x),g(x))$, el diagrama es conmutativo:
$$p_1(h(x)) = p_1((f(x),g(x)) = f(x)$$
$$p_2(h(x)) = p_2((f(x),g(x)) = g(x)$$
y además $h$ es única con esta propiedad. Dos aplicaciones $h:X \rightarrow A \times B$ y $h':X \rightarrow A \times B$ son iguales si las imágenes de todos los elementos por $h$ y por $h'$ son iguales. Sea entonces $x \in X$. La función $h'$ tiene llegada a $A \times B$, luego dado $x \in X$, podemos escribir $h'(x) = (h_1'(x),h_2'(x))$. Queremos ver que esto es igual a $h(x) = (f(x),g(x))$, lo que ocurrirá sólo cuando $h_1'(x) = f(x)$ y $h'_2(x) = g(x)$. Pero esto es cierto porque la aplicación $h'$ debe hacer conmutativo el diagrama y $h'_1(x) = p_1(h(x)) = f(x)$ y $h'_2(x) = p_2(h'(x)) = g(x)$.
Observemos que podríamos haber definido el producto de dos conjuntos de otra manera: como $B \times A$, que satisface las mismas propiedades que la definición de producto $A \times B$. Sin embargo, como decía al principio, existe un único isomorfismo canónico de $A \times B$ en $B \times A$: el que intercambia las dos componentes.
Similarmente, en la categoría Top de espacios topológicos y aplicaciones continuas está definido el producto de dos espacios topológicos $A$ y $B$. Parece claro que para definir el espacio topológico $A \times B$ utilizaremos como conjunto base el producto cartesiano. Ahora bien, ¿cómo definimos la topología del producto? La teoría de categorías viene al rescate: si existe tal cosa como un producto de espacios topológicos, sólo hay una manera de definirlo salvo isomorfismo canónico. Pensemos en el diagrama. Digamos que $A$ y $B$ son espacios topológicos, $A \times B$ el producto cartesiano de ambos y $X$ otro espacio topológico.
Como estamos en la categoría Top, los morfismos $f$ y $g$ son aplicaciones continuas. Además, también deben ser aplicaciones continuas las proyecciones $p_1$ y $p_2$, lo cual ya impone una restricción sobre la topología de $A \times B$: que la preimagen por las proyecciones de los abiertos de $A$ y $B$ debe ser un abierto en $A \times B$. Para determinar completamente la topología, decretamos que la topología de $A \times B$ es la menos fina (la que tiene menor cantidad de abiertos) manteniendo las proyecciones continuas, es decir, la que tiene como subbase a las preimágenes de los abiertos de $A$ y $B$ por las proyecciones. Definimos la aplicación $h$ como lo hacíamos con los conjuntos, es decir, $h(x) = (f(x),g(x))$. Para comprobar que la aplicación $h$ es continua habría que introducir notación e índices, pero se puede hacer tomando como base de la topología de $A \times B$ las intersecciones finitas de los productos de preimágenes de abiertos de $A$ y $B$. Dada una de estas intersecciones, se lleva por $p_1$ y $p_2$ a $A$ y a $B$, se sube a $X$ por $f$ y por $g$ obteniendo un abierto en $X$ por la continuidad de $f$ y $g$, y finalmente se compara con la preimagen del conjunto inicial por $h$, concluyendo que ambos coinciden por la conmutatividad del diagrama y, por tanto, el segundo es también abierto.
Igual que se define el producto de dos objetos, se puede definir el producto de infinitos objetos como un objeto $P$ acompañado de infinitas proyecciones que satisfacen la propiedad universal. En el caso de productos de una cantidad infinita de espacios topológicos, no hay sólo una manera sensata (aparentemente sensata) de definir la topología del espacio producto. Está la llamada topología producto y la llamada topología de cajas. De esta última suele decirse que es "mala", que tiene malas propiedades. Una manera de justificar la elección de la topología producto es que es la única manera (salvo un único homeomorfismo canónico) de que el producto topológico sea categóricamente un producto. En el caso de productos finitos la topología producto y la de cajas coinciden, pero no así con productos infinitos. Esta es una de las ventajas de la teoría de categorías, que nos dice cómo hacer algo si es que existe una manera de hacerlo.
Veamos un ejemplo un poco distinto. Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los números naturales $\{1, 2, 3, ...\}$. Dotamos a $\mathbb{N}$ de estructura de categoría de la siguiente manera: los objetos de la categoría son los números naturales y entre cada par de objetos $a,b \in \mathbb{N}$ existe un único morfismo $a \rightarrow b$ si, y sólo si, $a$ divide a $b$. Por ejemplo, existe un único morfismo $3 \rightarrow 6$ porque $3$ divide a $6$, pero no existe ningún morfismo de $3$ a $5$. Dados $a$ y $b$ números naturales, ¿qué es el producto de $a$ por $b$? Usando una notación spoiler, denotemos por $d$ al producto de $a$ y $b$ y miremos el diagrama:
Traduciendo el diagrama a la categoría que estamos tratando, se pide que para cada $a,b \in \mathbb{N}$ exista $d \in \mathbb{N}$ tal que:
Visto esto, veamos algunos ejemplos. En la categoría Set de conjuntos y aplicaciones conjuntistas, el producto de dos conjuntos cualesquiera $A$ y $B$ existe y es el producto cartesiano $A \times B$ junto con las proyecciones usuales. Veamos que cumple la definición de producto:
$$p_1(h(x)) = p_1((f(x),g(x)) = f(x)$$
$$p_2(h(x)) = p_2((f(x),g(x)) = g(x)$$
y además $h$ es única con esta propiedad. Dos aplicaciones $h:X \rightarrow A \times B$ y $h':X \rightarrow A \times B$ son iguales si las imágenes de todos los elementos por $h$ y por $h'$ son iguales. Sea entonces $x \in X$. La función $h'$ tiene llegada a $A \times B$, luego dado $x \in X$, podemos escribir $h'(x) = (h_1'(x),h_2'(x))$. Queremos ver que esto es igual a $h(x) = (f(x),g(x))$, lo que ocurrirá sólo cuando $h_1'(x) = f(x)$ y $h'_2(x) = g(x)$. Pero esto es cierto porque la aplicación $h'$ debe hacer conmutativo el diagrama y $h'_1(x) = p_1(h(x)) = f(x)$ y $h'_2(x) = p_2(h'(x)) = g(x)$.
Observemos que podríamos haber definido el producto de dos conjuntos de otra manera: como $B \times A$, que satisface las mismas propiedades que la definición de producto $A \times B$. Sin embargo, como decía al principio, existe un único isomorfismo canónico de $A \times B$ en $B \times A$: el que intercambia las dos componentes.
Similarmente, en la categoría Top de espacios topológicos y aplicaciones continuas está definido el producto de dos espacios topológicos $A$ y $B$. Parece claro que para definir el espacio topológico $A \times B$ utilizaremos como conjunto base el producto cartesiano. Ahora bien, ¿cómo definimos la topología del producto? La teoría de categorías viene al rescate: si existe tal cosa como un producto de espacios topológicos, sólo hay una manera de definirlo salvo isomorfismo canónico. Pensemos en el diagrama. Digamos que $A$ y $B$ son espacios topológicos, $A \times B$ el producto cartesiano de ambos y $X$ otro espacio topológico.
Como estamos en la categoría Top, los morfismos $f$ y $g$ son aplicaciones continuas. Además, también deben ser aplicaciones continuas las proyecciones $p_1$ y $p_2$, lo cual ya impone una restricción sobre la topología de $A \times B$: que la preimagen por las proyecciones de los abiertos de $A$ y $B$ debe ser un abierto en $A \times B$. Para determinar completamente la topología, decretamos que la topología de $A \times B$ es la menos fina (la que tiene menor cantidad de abiertos) manteniendo las proyecciones continuas, es decir, la que tiene como subbase a las preimágenes de los abiertos de $A$ y $B$ por las proyecciones. Definimos la aplicación $h$ como lo hacíamos con los conjuntos, es decir, $h(x) = (f(x),g(x))$. Para comprobar que la aplicación $h$ es continua habría que introducir notación e índices, pero se puede hacer tomando como base de la topología de $A \times B$ las intersecciones finitas de los productos de preimágenes de abiertos de $A$ y $B$. Dada una de estas intersecciones, se lleva por $p_1$ y $p_2$ a $A$ y a $B$, se sube a $X$ por $f$ y por $g$ obteniendo un abierto en $X$ por la continuidad de $f$ y $g$, y finalmente se compara con la preimagen del conjunto inicial por $h$, concluyendo que ambos coinciden por la conmutatividad del diagrama y, por tanto, el segundo es también abierto.
Igual que se define el producto de dos objetos, se puede definir el producto de infinitos objetos como un objeto $P$ acompañado de infinitas proyecciones que satisfacen la propiedad universal. En el caso de productos de una cantidad infinita de espacios topológicos, no hay sólo una manera sensata (aparentemente sensata) de definir la topología del espacio producto. Está la llamada topología producto y la llamada topología de cajas. De esta última suele decirse que es "mala", que tiene malas propiedades. Una manera de justificar la elección de la topología producto es que es la única manera (salvo un único homeomorfismo canónico) de que el producto topológico sea categóricamente un producto. En el caso de productos finitos la topología producto y la de cajas coinciden, pero no así con productos infinitos. Esta es una de las ventajas de la teoría de categorías, que nos dice cómo hacer algo si es que existe una manera de hacerlo.
Veamos un ejemplo un poco distinto. Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los números naturales $\{1, 2, 3, ...\}$. Dotamos a $\mathbb{N}$ de estructura de categoría de la siguiente manera: los objetos de la categoría son los números naturales y entre cada par de objetos $a,b \in \mathbb{N}$ existe un único morfismo $a \rightarrow b$ si, y sólo si, $a$ divide a $b$. Por ejemplo, existe un único morfismo $3 \rightarrow 6$ porque $3$ divide a $6$, pero no existe ningún morfismo de $3$ a $5$. Dados $a$ y $b$ números naturales, ¿qué es el producto de $a$ por $b$? Usando una notación spoiler, denotemos por $d$ al producto de $a$ y $b$ y miremos el diagrama:
- Primera proyección: $d$ divide a $a$.
- Segunda proyección: $d$ divide a $b$.
- Propiedad universal: Si $d'$ es un número natural que divide a $a$ y a $b$, entonces $d'$ también divide a $d$.
Aquí la unicidad de la flecha punteada es "gratis" porque hemos dicho que a lo sumo hay una flecha entre cada par de objetos. La condición anterior es exactamente la definición del máximo común divisor. Por tanto, en esta categoría $a \times b$ significa $gcd(a,b)$.
El planteamiento anterior se puede generalizar a cualquier conjunto parcialmente ordenado $(P,\leq)$ en el que existe un único morfismo entre objetos $a,b\in P$ si, y sólo si, $a \leq b$. Si en este conjunto existe el ínfimo de $a$ y $b$ (la mayor de las cotas inferiores de $a$ y $b$), entonces éste es el producto.
Para terminar con los ejemplos de productos, pensemos en la "categoría de las proposiciones". Sin entrar en formalismos (entre otras cosas porque yo mismo no sabría entrar en formalismos aquí), podemos pensar en una categoría en la que los objetos son proposiciones en el sentido lógico y existe un único morfismo entre dos proposiciones $p$ y $q$ si, y sólo si, $p$ implica $q$. El producto de $p$ y $q$ no es nada más que la conjunción lógica $p \wedge q$. En efecto, $p \wedge q$ implica tanto $p$ como $q$ y si $r$ es una proposición que implica $p$ e implica $q$, necesariamente $r$ implica $p \wedge q$
Por supuesto siempre podemos definir el producto en categorías más familiares, las de tipo conjuntos con estructura, pero estos ejemplos me parecían curiosos. Un buen juego para frikis como nosotros consiste en pensar en un concepto matemático, identificar una categoría a la que pertenezca y tratar de definir el producto en dicha categoría. Para qué querremos televisión.
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