miércoles, 9 de abril de 2014

Coproductos en categorías

Completando la entrada anterior, noción dual de producto es la de coproducto. Es decir, un coproducto en una categoría $\mathcal{C}$ es un producto en la categoría dual $\mathcal{C}^{op}$. Y con esto ya queda todo dicho. Hasta la próxima entrada.





Bueno, vale, voy a dar la definición rápidamente y algunos ejemplos.



Definición: Sea $\mathcal{C}$ una categoría y sean $A$ y $B$ objetos de $\mathcal{C}$. El coproducto de $A$ y $B$ (si existe) es un objeto $CP$ de $\mathcal{C}$ junto con dos morfismos $i_1:A \rightarrow CP$, $i_2:B \rightarrow CP$ llamados inclusiones.
Al igual que con el producto, se pide que esta construcción sea "lo mejor posible". Se ha de cumplir la siguiente propiedad universal: para cada objeto $X$ de $\mathcal{C}$ y cada par de morfismos $f:A \rightarrow X$ y $g:B \rightarrow X$, existe un único morfismo $h:CP \rightarrow X$ que hace conmutativo el siguiente diagrama:

Al igual que ocurría con el producto, el coproducto, si existe, es único salvo único isomorfismo: si $CP'$ junto con $i_1',i_2'$ es otra estructura que satisface la definición anterior, existe un único isomorfismo $CP \rightarrow CP'$. Si el producto de dos objetos $A$ y $B$ se denota habitualmente $A \times B$, el coproducto a veces se denota $A+B$.

En la categoría Set el coproducto de dos conjuntos $A$ y $B$ es la unión disjunta $A \sqcup B$. Hay varias maneras de construir la unión disjunta de dos conjuntos, pero esto no debe preocuparnos porque, si la unión disjunta es efectivamente el coproducto, todas las construcciones serán canónicamente isomorfas. Por ejemplo, se puede construir la unión disjunta de la siguiente manera:
$$A \sqcup B = A \times \{0\} \cup B \times \{1\}$$
Las inclusiones del coproducto son las aplicaciones $i_1:A \rightarrow A \sqcup B$ que aplica $a$ en $(a,0)$ y $i_2:B \rightarrow A \sqcup B$ que aplica $b$ en $(b,1)$. Debemos comprobar entonces que se cumple la propiedad universal. Dado un conjunto $X$ y aplicaciones $f:A \rightarrow X$, $g:B \rightarrow X$, ¿existe una única aplicación $h$ tal que el diagrama siguiente es conmutativo?
Realmente no hay muchas opciones para definir $h$. Si queremos que dado $a \in A$, al pasarlo por la inclusión $i_1(a) = (a,0)$ y después por $h$ tengamos $f(a)$, y análogo para $b \in B$, tenemos que definir $h$ como $h:A \sqcup B \rightarrow X$ tal que $h(x,0) = f(x)$ y $h(x,1) = g(x)$. Es una aplicación conjuntista bien definida porque siempre es $(x,0) \neq (x,1)$ y, además, para todo $(x,0)$ está definida $f(x)$ porque $x \in A$, y para todo $(x,1)$ está definida $g(x)$ porque $x \in B$. Se puede comprobar también que $h$ hace el diagrama conmutativo por construcción y que es única con esta propiedad.

¿Qué pasa con la categoría Top? Aquí el coproducto es también la unión disjunta de los espacios topológicos y la topologia de la unión está dada en cada uno de los dos "trozos" por la topología que tenía inicialmente cada trozo. En términos más canónicos, la topología del coproducto es la topología más fina (la que tiene más abiertos) manteniendo las inclusiones continuas.

Un caso un poco menos trivial es el de la categoría Top$_*$, los espacios topológicos con un punto distinguido. Aquí los objetos son pares $(A,a)$ donde $A$ es un espacio topológico y $a \in A$ es un punto distinguido. Un morfismo $(A,a) \rightarrow (B,b)$ es una aplicación continua $f:A \rightarrow B$ tal que $f(a) = b$. Tomar la unión disjunta sin más en esta categoría no funciona porque dados $(A,a)$ y $(B,b)$, si queremos ver $A \sqcup B$ en Top$_*$ tenemos que especificar cuál es el punto distinguido, y no hay una manera canónica de hacerlo: ¿el punto distinguido es $(a,0)$? ¿es $(b,1)$? Sin embargo, se puede arreglar tomando el cociente (topológico) de la unión disjunta que identifica (pega) el punto distinguido de $A$ con el punto distinguido de $B$. Abreviadamente, $A \sqcup B/ a \sim b$. Normalmente este espacio se denota $A \vee B$. Por ejemplo, pongamos que ambos espacios $A$ y $B$ son la circunferencia $\mathbb{S}^1$ con un punto distinguido (para el ejemplo nos da igual cuál) $a \in \mathbb{S}^1$ en el primero y $b \in \mathbb{S}^1$ en el segundo.
El espacio coproducto $\mathbb{S}^1 \vee \mathbb{S}^1$ es el resultado de tomar dos circunferencias disjuntas y pegarlas por un punto, es decir, la figura de ocho. En forma compacta: $0 + 0 = 8$.

A estas alturas ya podemos adivinar qué es el coproducto de dos números naturales en la "categoría de la divisibilidad": dados $a$ y $b$, el coproducto de $a$ y $b$ es un número natural $m$ tal que:
  • $a$ divide a $m$
  • $b$ divide a $m$
  • Si $m'$ es otro número natural tal que $a$ y $b$ dividen a $m'$, entonces también $m$ divide a $m'$.
Es decir, el mínimo común múltiplo: $a + b = lcm(a,b)$.

En la categoría de las proposiciones, como es obvio, el coproducto de dos proposiciones $p$ y $q$ es la disyunción $p \vee q$, ya que tanto $p$ como $q$ implican $p \vee q$ y si $r$ es otra proposición tal que $p$ y $q$ implican $r$, entonces $p \vee q$ implica $r$.


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