viernes, 11 de abril de 2014

Aritmética en categorías

Por cerrar las dos entradas anteriores, Productos en categorías y Coproductos en categorías, quería dar un par de definiciones más. Se trata del concepto de objeto terminal y su dual, el objeto inicial. Una vez definidos, permiten hacer una aritmética con los objetos que me parece curiosa.



Definición: Sea $\mathcal{C}$ una categoría. Un objeto terminal $T$ es un objeto de $\mathcal{C}$ satisfaciendo la siguiente propiedad universal: para cada objeto $A$ de $\mathcal{C}$ existe un único morfismo $A \rightarrow T$.

Al igual que ocurría con los productos y coproductos, los objetos terminales son únicos salvo único isomorfismo. Supongamos que $T'$ es otro objeto terminal. Como $T'$ es terminal, existe un único morfismo $f:T \rightarrow T'$. Como $T$ es terminal, existe un único morfismo $g:T' \rightarrow T$. Se trata de ver que $g \circ f = 1_T$ y que $f \circ g = 1_{T'}$. Para ello, como $T$ es terminal, existe un único morfismo $T \rightarrow T$. Este único morfismo debe ser igual a la identidad $1_T$ porque la identidad debe existir al ser $\mathcal{C}$ una categoría, y como $g \circ f$ también es un morfismo $T \rightarrow T$, debe coincidir con $1_T$. Análogamente $f \circ g = 1_{T'}$ y así $f$ es un isomorfismo de $T$ en $T'$ y es único.

El dual del objeto terminal es el objeto inicial.

Definición: Sea $\mathcal{C}$ una categoría. Un objeto inicial $I$ es un objeto terminal en $\mathcal{C}^{op}$. Es decir, es un objeto de $\mathcal{C}$ con la siguiente propiedad universal: para cada objeto $A$ de $\mathcal{C}$ existe un único morfismo $I \rightarrow A$.

Como el objeto terminal, el objeto inicial, si existe, es único salvo único isomorfismo. Veamos algunos ejemplos.

En Set un objeto terminal es cualquier conjunto con un único elemento. Pensando en la unicidad salvo único isomorfismo, no importa mucho qué elemento sea. Podemos pensar que es $\{*\}$ porque si $\{a\}$ es cualquier otro conjunto con un único elemento, hay un único isomorfismo (aplicación biyectiva en esta categoría) de $\{a\}$ en $\{*\}$ (la que aplica $a$ en $*$, obviamente). El conjunto $\{*\}$ evidentemente es terminal porque para cualquier conjunto $X$ existe una única aplicación $f:X \rightarrow \{*\}$, la aplicación dada por $f(x) ) *$ para todo $x \in X$. Un objeto inicial en Set es el conjunto vacío $\emptyset$ porque para cada conjunto $X$ hay una única aplicación $\emptyset \rightarrow X$.

En Top ocurre lo mismo que en Set. El espacio topológico terminal es aquel que consiste en un único punto $*$ con la única topología posible $\tau = \{\{*\},\emptyset\}$. El espacio topológico terminal es $\emptyset$ con la única topología posible $\{\emptyset\}$. El caso de Top$_*$ es un poco distinto. Aunque el objeto terminal es $(\{*\},*)$, el espacio topológico unipuntual que tiene como punto distinguido su único punto, el conjunto vacío no puede ser un objeto inicial porque no hay manera de escoger un punto distinguido (no tiene puntos). Sin embargo, sí que existe objeto inicial y es el mismo que el objeto terminal $(\{*\},*)$. En principio hay muchas aplicaciones continuas $\{*\} \rightarrow X$ y se exige que sólo exista una, pero la condición sobre los morfismos de la categoría, que preserven el punto distinguido, es lo que nos da la unicidad. Para cada espacio topológico punteado $(X,x)$ existe un único morfismo $f:(\{*\},*) \rightarrow (X,x)$, la aplicación continua $f:\{*\} \rightarrow X$ con $f(*) = x$.

En Grp y en Ab el grupo trivial $\{0\}$ es tanto objeto terminal como objeto inicial. Sin embargo, en la categoría Fld de los cuerpos y homomorfismos de cuerpos no existe objeto terminal ni objeto inicial. La idea intuitiva es que en un cuerpo normalmente se requiere que el $0$ y el $1$ sean elementos distintos, por lo que $\{0\}$ no es un cuerpo y el cuerpo más pequeño posible es $\mathbb{F}_2 = \{0,1\}$. Como este cuerpo tiene dos elementos, se pierde la unicidad al tener que elegir qué papel juega cada elemento en una aplicación.

En un conjunto parcialmente ordenado $(P,\leq)$ como por ejemplo los números naturales con la relación de divisibilidad, si $P$ posee elemento mínimo (un elemento $m \in P$ tal que $m \leq a$ para todo $a \in P$), entonces ese elemento es objeto inicial y si posee elemento máximo, es un objeto terminal. En el caso de los números naturales, $1$ es objeto inicial porque divide a todos los demás, pero no hay objeto terminal.

Por último, en la categoría de las proposiciones un objeto terminal es cualquier tautología, como por ejemplo $p \vee (\neg p)$ para la proposición $p$ que más nos apetezca, porque cualquier proposición implica una tautología. Un objeto inicial es una contradicción como $p \wedge (\neg p)$ porque ex contradictione quodlibet.

Muchas veces se denotan los objetos iniciales por $1$ y los objetos terminales por $0$. El motivo es que esta notación es coherente con la de los productos $\times$ y los coproductos $+$. Por ejemplo, supongamos que $\mathcal{C}$ es una categoría para la que existen todos los productos binarios y existe objeto terminal. ¿Qué podría ser $A \times 1$? Efectivamente, $A \times 1 \simeq A$. Para probar esto, veamos que $A$ cumple la definición de producto de $A$ y $1$. Hay que elegir las proyecciones. Como $1$ es un objeto terminal, sólo hay un morfismo $A \rightarrow 1$, por lo que no hay más opciones para la proyección $p_2$. La proyección $p_1$ debe ser un morfismo $A \rightarrow A$. Si no sabemos nada sobre qué tipo de objeto es $A$, ¿qué morfismo podríamos escoger? Pues la única opción posible: la identidad $p_2 = 1_A:A \rightarrow A$. Sea entonces $X$ otro objeto y $f$ un morfismo de $X$ en $A$:
De nuevo, como $1$ es terminal, sólo hay un posible morfismo de $X$ en $1$. Sólo queda comprobar que existe una única $h$ haciendo el diagrama conmutativo. Para que la parte izquierda del diagrama conmute, debe ser $1_A \circ h = f$. Pero $1_A \circ h = h$, así que $h = f$ es la única posibilidad. Con esta elección de $h$, la parte derecha del diagrama conmuta por el siguiente motivo: por los axiomas de categoría debe existir la composición $X \stackrel{h}{\rightarrow} A \rightarrow 1$, que es un morfismo $X \rightarrow 1$, pero como sólo hay un morfismo de $X$ en $1$ al ser $1$ terminal, ambos morfismos deben coincidir.

Con demostraciones del mismo tipo pero algo más trabajosas se puede demostrar lo siguiente: si $\mathcal{C}$ es una categoría en la que existen objeto terminal $1$, objeto inicial $0$, productos binarios $A \times B$ y coproductos binarios $A+B$ (por ejemplo, la categoría Grp, pero también muchas otras), se obtienen resultados "aritméticos" del tipo $A \times 1 \simeq A$, $A + 0 \simeq A$, e incluso $A \times (B+C) \simeq A\times B + A \times C$.
Edit:

  • Si $a,b,c$ son números naturales, $gcd(a,lcm(b,c)) = lcm(gcd(a,b),gcd(a,c))$.
  • Si $p,q,r$ son proposiciones, $p \wedge (q \vee r) \Leftrightarrow (p \wedge q) \vee (p \wedge r)$.

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