sábado, 26 de abril de 2014

Anecdote

An engineer, a physicist, and a mathematician find themselves in an anecdote, indeed an anecdote quite similar to many that you have no doubt already heard. After some observations and rough calculations the engineer realizes the situation and starts laughing. A few minutes later the physicist understands too and chuckles to himself happily, as he now has enough experimental evidence to publish a paper. This leaves the mathematician somewhat perplexed, as he had observed right away that he was the subject of an anecdote and deduced quite rapidly the presence of humor from similar anecdotes, but considers this anecdote to be too trivial a corollary to be significant, let alone funny.




viernes, 11 de abril de 2014

Aritmética en categorías

Por cerrar las dos entradas anteriores, Productos en categorías y Coproductos en categorías, quería dar un par de definiciones más. Se trata del concepto de objeto terminal y su dual, el objeto inicial. Una vez definidos, permiten hacer una aritmética con los objetos que me parece curiosa.

miércoles, 9 de abril de 2014

Coproductos en categorías

Completando la entrada anterior, noción dual de producto es la de coproducto. Es decir, un coproducto en una categoría $\mathcal{C}$ es un producto en la categoría dual $\mathcal{C}^{op}$. Y con esto ya queda todo dicho. Hasta la próxima entrada.





Bueno, vale, voy a dar la definición rápidamente y algunos ejemplos.

Productos en categorías

Estos últimos días me ha dado por leer notas y ver clases en Youtube de teoría de categorías. Como al principio todo es muy sencillo de definir, cuando me había interesado por el tema en anteriores ocasiones había avanzado muy rápido creyendo entenderlo todo. Sin embargo, quizá porque uno madura, esta vez me lo he tomado con mucha más calma y he descubierto que en esta materia es posible disfrutar con las definiciones más elementales. Probablemente lo que me resulta más emocionante es tomar una definición categórica y ver qué significa en distintas categorías conocidas. Los resultados muchas veces son sorprendentes y conectan conceptos matemáticos que aparentemente no tienen nada que ver.

En esta entrada quiero hablar de una construcción muy sencilla, los productos, que son una especie de generalización del producto cartesiano de conjuntos a otras categorías. Cuando una categoría tiene como objetos unos "conjuntos con estructura" (espacios topológicos, espacios vectoriales, grupos, anillos...), suele ser fácil describir el producto de dos objetos. Normalmente el conjunto base para el producto es el producto cartesiano de los conjuntos base y la estructura del producto es un "producto sensato" de las estructuras. Sin embargo, cuando los objetos de una categoría no son conjuntos, no hay noción de producto cartesiano y, por tanto, no hay una manera tan evidente de definir el producto de dos objetos.