Una traducción álgebra - geometría

Para seguir esta entrada conviene saber lo que es un anillo y lo que es un ideal de un anillo.

Las variedades algebraicas afines de $\mathbb{K}^n$ (donde $\mathbb{K}$ es un cuerpo, que a efectos de lo que quiero contar puede pensarse que es $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$) son los conjuntos de ceros de polinomios de $\mathbb{K}\left[X_1, X_2, ..., X_n\right]$. Por ejemplo, la circunferencia unidad es una variedad algebraica afín de $\mathbb{K}^2$ porque es el conjunto de puntos que satisfacen $X^2 + Y^2 = 1$, es decir, el conjunto de ceros del polinomio $f(X,Y) = X^2 + Y^2 -1$. También todas las rectas afínes, de ecuación $Y = mX + n$, son conjuntos algebraicos afines de $\mathbb{K}^2$, porque son conjuntos de ceros de polinomios de la forma $f(X,Y) = mX - Y + n$. Pero también son conjuntos algebraicos afines algunas curvas un poco más raras, como la parábola de Neil, que es el conjunto de ceros del polinomio $f(X,Y) = Y^2 - X^3$, o el nudo de Newton, que es el conjunto de ceros del polinomio $f(X,Y) = Y^2-X^3-X^2$.

La notación estándar que suele utilizarse para no tener que estar diciendo todo el rato "conjunto de ceros del polinomio (o polinomios) tal" es la siguiente: dado un conjunto de polinomios $f_1, ..., f_r$, denotamos su lugar de ceros comunes por $V(f_1, ..., f_r)$ (donde $V$ es por variedad). Así, la circunferencia sería $V(X^2+Y^2-1)$, o la parábola (usual) sería $V(Y-X^2)$.

Si ahora consideramos el polinomio $f(X,Y) = (X-Y)(X^2+Y^2-1)$, ¿qué pinta tiene $V(f)$? Un punto $(x,y)$ de $\mathbb{K}^2$ satisface la ecuación $f(x,y) = 0$ si $x-y = 0$, o si $y^2+x^2-1 = 0$ (o ambas condiciones, claro). Por tanto en este caso $V(f)$ es la unión de la recta $Y = X$ con la circunferencia $X^2+Y^2 = 1$. En efecto, si metemos en Wolfram Alpha "(x-y)*(x^2+y^2-1) = 0", el dibujo que nos sale es este:

La diferencia entre este dibujo y los anteriores es evidente: de alguna manera, entendemos que esta variedad es algo así como la unión de dos variedades más pequeñas: una circunferencia y una recta. En cierto sentido, es una variedad algebraica "reducible". Pero, ¿qué entendemos por variedad reducible? Nos gustaría dar una definición satisfactoria de variedad reducible, y eso es lo que vamos a intentar hacer aquí, comparando dos enfoques distintos: el enfoque geométrico y el enfoque algebraico.

Para dar una definición desde un punto de vista geométrico, no tenemos más que pensarlo un par de minutos, y escribir lo que ya habíamos dicho:

Una variedad algebraica afín (no vacía) es irreducible si no se puede escribir como unión de dos variedades algebraicas afines estrictamente contenidas en ella.

Muy bien, ya tenemos nuestra definición. Desde este punto de vista, la última variedad es reducible, porque se puede escribir como $V(X-Y) \cup V(X^2+Y^2-1)$. Ahora bien, intuitivamente la circunferencia $V(X^2+Y^2-1)$ es irreducible. ¿Cómo podemos demostrar que es así? ¿cómo podemos demostrar que no se puede escribir como unión de dos variedades más pequeñas? Esto significaría que existen dos polinomios $g_1, g_2$ tales que $V(X^2+Y^2-1) = V(g_1) \cup V(g_2)$. De manera obligada, para demostrar que esto no es posible tendríamos que meternos ya en el berenjenal de la factorización de polinomios, lo cual nos lleva al enfoque algebraico.

Para hablar del álgebra, antes vamos a rebobinar un poco, hasta la definición de variedad algebraica afín. Si $S$ es un subconjunto (posiblemente infinito) de polinomios de $\mathbb{K}\left[X_1, X_2, ..., X_n\right]$, definimos su lugar de ceros como el conjunto de puntos en el que se anulan todos los elementos de $S$, es decir,
$$V(S) = \{x \in \mathbb{K}^n\ |\ f(x) = 0\ \forall f \in S\}$$

Ahora bien, como $\mathbb{K}\left[X_1, X_2, ..., X_n\right]$ es un anillo con la suma y el producto usual de polinomios, podemos hablar del ideal generado por $S$, digamos $I = (S)$. Entonces $V(I) \subseteq V(S)$, porque si un punto de $\mathbb{K}^n$ se anula en todos los elementos de $I$, también se anulará, en particular, en todos los elementos de $S$, ya que $S \subset I$. Lo interesante es que el otro contenido $V(S) \subseteq V(I)$ también es cierto: si $x \in V(S)$, significa que $x$ se anula en todos los elementos de $S$. Ahora bien, para cualquier $f \in I$, $f$ se puede escribir como combinación (finita) de elementos de $S$, $f = f_1g_1 + \cdots + f_sg_s$ con los $f_i$ en $\mathbb{K}\left[X_1, X_2, ..., X_n\right]$ y los $g_i$ en $S$ (esto por definición de ideal generado por $S$). Entonces

$$f(x) = f_1(x)g_1(x) + \cdots +f_s(x)g_s(x)$$

Como $x$ está en $V(S)$, todos los $g_i(x)$ son nulos, luego $f(x) = 0$. Por tanto $x$ también se anula en todos los elementos del ideal generado por $S$. Así, podemos siempre hablar de variedades algebraicas afines engendradas por ideales del anillo de polinomios $\mathbb{K}\left[X_1, X_2, ..., X_n\right]$. La recta $V(Y-X)$ es el lugar de ceros del polinomio $f(X,Y) = X-Y$, pero equivalentemente es el lugar de ceros del ideal generado por $f$, es decir, que $x$ es un cero de $f$ si y sólo si es un cero de $g \cdot f$ para todo $g$ en $\mathbb{K}\left[X_1, X_2, ..., X_n\right]$.

Recordemos ahora la definición de ideal primo: si $A$ es un anillo, un ideal $\mathfrak{p} \subseteq A$ se dice primo si dados dos elementos $a,b \in A$ tales que $ab \in \mathfrak{p}$, se tiene que $a \in \mathfrak{p}$ o $b \in \mathfrak{p}$. Por ejemplo, en el anillo de los enteros $\mathbb{Z}$, los ideales primos son los ideales generados por números primos, los subconjuntos de múltiplos de $p$, donde $p$ es primo, denotado $p\mathbb{Z}$: si tenemos dos enteros $a$ y $b$ tales que $ab \in p\mathbb{Z}$, esto significa que $ab$ es un múltiplo de $p$, $ab = mp$, y como $p$ es primo, $p$ divide a $a$ o $p$ divide a $b$, esto es, $a$ es múltiplo de $p$ o $b$ es múltiplo de $p$, por lo que $a \in p\mathbb{Z}$ o $b\in p\mathbb{Z}$.

¿Qué tiene que ver esto de los ideales primos con las variedades irreducibles? Pues es que resulta que una variedad algebraica afín es irreducible si, y sólo si, está generada por un ideal primo de $\mathbb{K}\left[X_1, X_2, ..., X_n\right]$. Para demostrarlo, será más fácil utilizar el enunciado equivalente "una variedad es reducible si y sólo si está generada por un ideal que no es primo". Veámoslo:

Supongamos primero que $V = V(I)$ es una variedad reducible, y veamos que en este caso el ideal $I$ no es primo. Si $V$ es reducible, entonces $V$ es no vacía y se puede escribir como $V = V_1 \cup V_2$, donde $V_1$ y $V_2$ son variedades algebraicas estrictamente contenidas en $V$, digamos $V_1 = V(I_1)$ y $V_2 = V(I_2)$. Como $V_1$ está estrictamente contenida en $V$, hay un polinomio que se anula en todo $V_1$ pero no en todo $V$, ya que si todos los polinomios que se anulan en $V_1$ se anularan también en $V$, tendríamos que $I_1 \subseteq I$, luego $V = V(I) \subseteq V(I_1) = V_1$ y así $V = V_1$, en contra de la hipótesis de que el contenido era estricto. Sea $f$ entonces este polinomio. Análogamente, existirá un polinomio $g$ que se anula en todo $V_2$ pero no en todo $V$. Entonces estos dos polinomios cumplen que $f\cdot g$ se anula en todo $V$, ya que $V$ es unión de $V_1$ y $V_2$, $f$ se anula en $V_1$ y $g$ se anula en $V_2$. Esto quiere decir que $fg \in I$, pero ni $f$ ni $g$ están en $I$ porque ninguno de los dos se anula en todo $V$. Por tanto, $I$ no es un ideal primo.

Recíprocamente, supongamos que $I$ no es primo. Entonces existirán dos polinomios $f$ y $g$ tales que $fg \in I$, pero $f \notin I$ y $g \notin I$. Esto es, dos polinomios $f$ y $g$ tales que existe un punto $x \in V$ en el que $f(x) \neq 0$ (pero $g(x) = 0$ porque $f(x)g(x) = 0$ y $\mathbb{K}$ es un dominio de integridad), y otro punto $y \in V$ en el que $g(y) \neq 0$ (pero $f(y) = 0$ por la misma razón). Así, podemos escribir $V$ como $V = V(f) \cup V(g)$, donde $V(f)$ y $V(g)$ están ambas estrictamente contenidas en $V$ y $V$ es reducible.

Ahora utilizamos este resultado para demostrar que la circunferencia es una variedad algebraica irreducible. Para ello, tenemos que ver que el ideal generado por $X^2+Y^2-1$ en $\mathbb{K}\left[X_1, X_2, ..., X_n\right]$ es un ideal primo. Antes de nada, recordamos que dado un dominio de integridad $A$, decimos que un elemento $a$ es irreducible si no se puede escribir como $a = bc$ con $b$ y $c$ no unidades. Todo elemento que genera un ideal primo es un elemento irreducible, pero, además, si $A$ es un dominio de factorización única, como es el caso de $\mathbb{K}\left[X_1, X_2, ..., X_n\right]$, entonces el recíproco también es cierto: todo elemento irreducible genera un ideal primo.

Por tanto, para ver que la circunferencia es irreducible, basta probar que el polinomio $f(X,Y) = X^2+Y^2-1$ es irreducible en $\mathbb{Q}\left[X,Y\right]$. Pero esto es muy fácil: mirando el polinomio en $\mathbb{Q}\left[Y\right]\left[X\right]$ (coeficientes en $\mathbb{Q}\left[Y\right]$), podemos aplicar el criterio de Eisnstein para el elemento irreducible $P = Y-1$, que no divide al coeficiente director, divide al resto de los coeficientes y su cuadrado no divide al término independiente.