Como esta tarde no tengo nada mejor que hacer, voy a extenderme en el tema de la última entrada, explicando por qué la equivalencia entre variedad irreducible e ideal primo no es una serendipia, que diría Iker, sino que hay una verdad más profunda oculta detrás de esto: la categoría de las variedades algebraicas afines sobre un cuerpo $\mathbb{K}$ algebraicamente cerrado y la categoría de $\mathbb{K}$-álgebras finitamente generadas y reducidas son categorías duales. Veamos qué significa esto.
Lo primero de todo, empecemos con el concepto de categoría. La teoría de categorías es una manera de organizar las matemáticas un poco con la filosofía de Linneo, creando una especie de línea filogenética que recorre las distintas áreas de estudio de las matemáticas. Podría decirse que es una manera de axiomatizar las matemáticas, como lo hace la teoría de conjuntos de ZFC, aunque esto no es totalmente preciso porque los conjuntos son un punto del árbol genealógico de las categorías, y éstas no dicen nada sobre la naturaleza del punto, luego una teoría de conjuntos alternativa a ZFC cabe dentro de la teoría de categorías.
La teoría de categorías no dice nada nuevo, no ha servido para obtener nuevos resultados en matemáticas, pero sí para clasificar sistemáticamente una serie de relaciones entre diversas áreas de las matemáticas que han ido apareciendo con el tiempo, además de haber ayudado mucho al diseño de lenguajes de programación (conceptos como clase u objeto provienen de la teoría de categorías).
Una catgoría $\mathcal{C}$ consiste en una clase de objetos $Obj(\mathcal{C})$, donde cada par de objetos $A, B \in Obj(\mathcal{C})$ tiene asociado un conjunto de morfismos o flechas $Hom_\mathcal{C}(A,B)$. Obsérvese que especifico que los morfismos deben formar un conjunto, pero para los objetos, digo "clase", porque es una clase en el sentido de la teoría de conjuntos: queremos considerar colecciones de objetos que a veces van a ser tan grandes que no serán conjuntos, pues incurrirían en la paradoja de Russel. Para cada morfismo $f \in Hom_\mathcal{C}(A,B)$ diremos que $A$ es su dominio y que $B$ es su codominio. Además, todos estos elementos deben satisfacer los siguientes axiomas:
- Para cada terna de objetos $A, B, C$, existe una aplicación (conjuntista)
$$\circ:Hom_\mathcal{C}(A,B) \times Hom_\mathcal{C}(B,C) \rightarrow Hom_\mathcal{C}(A,C)$$
llamada composición, que aplica el par $(f,g)$ en su composición, denotada $g \circ f$. Además, la composición debe ser asociativa.
- Para cada objeto $A$ existe un morfismo $1_A \in Hom_\mathcal{C}(A,A)$ llamado identidad, de tal modo que para todo $B, C \in Obj(\mathcal{C})$ y para todo $f \in Hom_\mathcal{C}(B,A)$ y $g \in Hom_\mathcal{C}(A,C)$, es $1_A \circ f = f$ y $g \circ 1_A = g$.
Una foto de una categoría posible es la siguiente:
contando con que faltan algunas flechas correspondientes a algunas composiciones. Ejemplos de categorías hay muchos: la categoría Set, cuyos objetos son los conjuntos y cuyos morfismos son las aplicaciones entre conjuntos, la categoría Top de espacios topológicos y aplicaciones continuas, la categoría Grp de grupos y homomorfismos de grupos, la categoría Ab de grupos abelianos y homomorfismos de grupos (es una subcategoría de la anterior), o la categoría CRing de anillos conmutativos y con unidad, y homomorfismos de anillos que aplican el 1 en el 1.
Los morfismos no siempre son aplicaciones. Por ejemplo, un grafo dirigido cualquiera que completamos con las flechas adecuadas para que existan las composiciones y las identidades es una categoría. También Htp, la familia de espacios topológicos junto con las aplicaciones continuas módulo su clase de homotopía es una categoría, y ahí los morfismos no son aplicaciones, sino clases de equivalencia de aplicaciones.
Dada una categoría $\mathcal{C}$, su categoría dual $\mathcal{C}^{opp}$ es la categoría que tiene los mismos objetos que $\mathcal{C}$, pero las flechas van en sentido inverso. Es sencillo probar que $\mathcal{C}^{opp}$ es, en efecto, una categoría. Alguno se preguntará si tiene sentido considerar la categoría dual de Grp porque si $f:A \rightarrow B$ es un homomorfismo de grupos, $A \leftarrow B$ no tiene por qué ser ni siquiera una aplicación conjuntista bien definida. No: no tiene por qué serlo, nadie ha dicho que tenga que serlo. Desde el punto de vista categórico, $f$ es sólo una flecha que va de $A$ a $B$ y no entra a ver qué pinta tiene esa flecha, así que tampoco entra a ver qué pinta tiene la flecha puesta en sentido inverso.
Ahora nos gustaría ver cómo podemos relacionar distintas categorías. La forma de hacerlo es a través de los functores, que son aplicaciones entre categorías que respetan su estructura. Dadas dos categorías $\mathcal{C},\mathcal{D}$, un functor (covariante) $F:\mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}$ es una aplicación que asocia a cada objeto $A \in \mathcal{C}$ un objeto $F(A) \in \mathcal{D}$, y a cada morfismo $f \in Hom_\mathcal{C}(A,B)$, un morfismo $F(f) \in Hom_\mathcal{D}(F(A),F(B))$, de tal manera que
- $F$ conmuta con la composición, es decir, que si $f \in Hom_\mathcal{C}(A,B)$ y $g \in Hom_\mathcal{C}(B,C)$, entonces $F(g \circ f) = F(g) \circ F(f) \in Hom_\mathcal{D}(F(A),F(C))$.
- $F$ respeta las identidades: para todo $A \in Obj(\mathcal{C})$, $F(1_A) = 1_{F(A)}$.
Un functor contravariante es una aplicación entre categorías que cumple todo lo anterior con la excepción de que invierte el sentido de las flechas: si $f \in Hom_\mathcal{C}(A,B)$, entonces $F(f) \in Hom_\mathcal{D}(F(B),F(A))$. En realidad, decir que un functor $F:\mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}$ es contravariante es lo mismo que decir que $F$ es un functor (covariante) $F:\mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}^{opp}$.
Veamos un par de ejempos de functores:
- Para muchas categorías conocidas, como Grp, Ab, CRing, Top, etc., tenemos el llamado functor olvido, que va a Set y simplemente "olvida" la estructura de los objetos y los morfismos de estas categorías, haciendo, por ejemplo, que cada grupo se vea sencillamente como un conjunto y cada homomorfismo de grupos como una aplicación conjuntista.
- Algunas categorías se pueden sumergir en otras mediante functores olvido. Por ejemplo, Ab se puede sumergir en Grp, haciendo que cada grupo abeliano se vea simplemente como un grupo. También Diff, la categoría de variedades diferenciables y aplicaciones diferenciables se puede sumergir en Top olvidando la estructura diferenciable y conservando la topológica.
- Un ejemplo menos trivial es el siguiente: si Vect$_{\mathbb{R}}$ es la categoría de espacios vectoriales reales junto con las aplicaciones lineales, $F:$Vect$_{\mathbb{R}}\rightarrow$ Vect$_{\mathbb{R}}$ es un functor contravariante que asocia a cada espacio vectorial $V$ su espacio dual $V^*$ (formas lineales) y a cada aplicación lineal $f \in Hom(V,W)$, su aplicación dual $f^* \in Hom(W^*,V^*)$ dada, para $g \in W^*$, por $f^*(g) = g \circ f \in V^*$.
- Si Top$^*$ es la categoría de espacios topológicos con un punto distinguido, la correspondencia que asocia a cada espacio $(X,x)$ su grupo fundamental $\pi_1(X,x)$ y a cada aplicación continua $f:X \rightarrow Y$ con $f(x) = y$, la correspondiente aplicación entre los grupos fundamentales que aplica el lazo $\alpha \in \pi_1(X,x)$ en el lazo $f \circ \alpha \in \pi_1(Y,y)$; es un functor covariante de Top$^*$ en Grp.
- Similarmente, la relación que asocia a cada espacio topológico $X$ su primer grupo de homología singular $H_1(X)$ es un functor de Top en Ab.
Visto esto, vamos a hablar ya de geometría algebraica. Como vimos en la entrada anterior, si $S \subseteq \mathbb{K}\left[X_1, ..., X_n\right]$, decimos que
$$V(S) = \{x \in \mathbb{K}^n : f(x) = 0\ \forall f \in S\}$$
es la variedad algebraica generada por $S$, y si $I = (S)$ es el ideal generado por $S$, entonces es lo mismo $V(S)$ que $V(I)$. Pero hay más: como todo cuerpo $\mathbb{K}$ es un anillo noetheriano, en virtud del Teorema de la base de Hilbert, $\mathbb{K}\left[X_1, ..., X_n\right]$ también es un anillo noetheriano, luego todo ideal de $\mathbb{K}\left[X_1, ..., X_n\right]$ es finitamente generado. Esto significa que si $I$ es un ideal de este anillo, existen polinomios $f_1, ..., f_r$ tales que $I = (f_1, ..., f_r)$. Por tanto:
Toda variedad algebraica afín es el lugar de ceros de un
conjunto finito de polinomios de $\mathbb{K}\left[X_1, ..., X_n\right]$.
Igual que definimos la relación $V(.)$ sobre subconjuntos de $\mathbb{K}\left[X_1, ..., X_n\right]$, podemos definir la relación $I(.)$ sobre subconjuntos de $\mathbb{K}^n$: dado $S \subseteq \mathbb{K}^n$ se define el ideal de $S$ como
$$I(S) := \{f \in \mathbb{K}\left[X_1, ..., X_n\right]: f(x) = 0\ \forall x \in S\}$$
Ahora, dada una variedad algebraica $V$, digamos $V = V(I)$, ¿en qué casos es $I = I(V(I))$? Esto no ocurre siempre: por ejemplo, si $I = (X^2) \subseteq \mathbb{K}\left[X, Y\right]$, entonces $V(I)$ es el conjunto de puntos $(x,y) \in \mathbb{K}^2$ tales que $x^2 = 0$, pero esto ocurre si y sólo si $x = 0$ (es el eje de ordenadas), por lo que $I(V(I)) = (X) \neq (X^2) = I$. Es fácil demostrar que, en general, $I \subseteq I(V(I))$, esto es, que $I(V)$ es el mayor ideal, respecto de la relación de contenido, que genera $V$. Sin embargo, el contenido en el otro sentido no es siempre cierto. Lo que tenemos es el siguiente teorema:
Teorema [Teorema de los ceros de Hilbert]. Si $\mathbb{K}$ es algebraicamente cerrado,
entonces para todo ideal $I \subseteq \mathbb{K}\left[X_1, ..., X_n\right]$ se tiene que $I(V(I)) = \sqrt{I}$.
donde $\sqrt{I}$ representa el radical del ideal $I$. El radical de un ideal es algo así como el resultado de quitarle a los generadores del ideal sus factores múltiples. Formalmente, si $A$ es un anillo y $I \subseteq A$ es un ideal, entonces
$$\sqrt{I} = \{f \in A : \exists n \in \mathbb{N}, f^n \in I\}$$
Por ejemplo, $\sqrt{(X^2)} = (X)$, o, en el anillo de los enteros $\mathbb{Z}$, el radical del ideal $(72) = (3^2 \cdot 2^3)$ es el ideal $(6) = (3 \cdot 2)$. Si $a = 6m$ es un múltiplo de $6$, entonces tomando $n = 3$,
$$(6m)^3 = (2 \cdot 3 \cdot m)^3 = 2^3 \cdot 3^3 \cdot m^3 = (2^3 \cdot 3^2)\cdot 3 \cdot m = 72 \cdot 3 \cdot m$$
es un múltiplo de $72$. El ideal $6$ es, además, el mayor ideal que cumple esto, puesto que los únicos ideales propios de $\mathbb{Z}$ que contienen a $(6)$ son $(2)$ y $(3)$, y ninguna potencia de elementos de estos ideales consigue un múltiplo de $72$ porque le faltaría uno de los factores primos.
Si $\mathbb{K}$ no es algebraicamente cerrado, el Teorema de los ceros puede fallar. Por ejemplo, el ideal $I = (X^2+1) \subseteq \mathbb{R}\left[X\right]$, da lugar a $V(I) = \emptyset$, y $I(\emptyset) = (1) = \mathbb{R}\left[X\right]$, que no es el radical de $(X^2+1)$ (el radical de $(X^2+1)$ es él mismo).
Ahora, dada una variedad algebraica afín $V = V(I)$, definimos su anillo de coordenadas como el cociente
$$\mathbb{K}\left[V\right] := \mathbb{K}\left[X_1, ..., X_n\right]/I$$
¿Cómo se interpreta esta construcción? Si $V$ es una variedad algebraica afín, decimos que una aplicación $F:V \rightarrow \mathbb{K}$ es una función regular si existe un polinomio $f \in \mathbb{K}\left[X_1, ..., X_n\right]$ tal que para todo $x \in V$, $F(x) = f(x)$. Es decir, que una aplicación de $V$ en $\mathbb{K}$ es una función regular si es la restricción a $V$ de una función polinómica de $\mathbb{K}^n$ en $\mathbb{K}$. El conjunto de funciones regulares sobre $V$, denotado $\mathcal{F}_{reg}(V)$, tiene estructura de anillo conmutativo y con unidad junto con la suma y el producto de funciones. Pues bien, resulta que $\mathbb{K}\left[V\right]$ y $\mathcal{F}_{reg}(V)$ son anillos isomorfos. La aplicación
$$\phi: \mathbb{K}\left[X_1, ..., X_n\right] \longrightarrow \mathcal{F}_{reg}(V)$$
que asocia a cada polinomio su correspondiente función polinómica restringida a $V$, es un homomorfismo de anillos que es sobreyectivo por construcción de $\mathcal{F}_{reg}$. Aplicando el Primer teorema de isomorfía, tenemos que
$$\mathbb{K}\left[X_1, ..., X_n\right]/\ker\phi \cong \mathcal{F}_{reg}(V)$$
Pero, ¿quién es $\ker\phi$? Es, precisamente, $I(V)$. Por definición $f \in \ker\phi$ si, y sólo si, $\phi(f) = 0$ o, lo que es lo mismo, $f(x) = 0$ para todo $x \in V$, si y sólo si, $f \in I(V)$. Por tanto
$$\mathbb{K}\left[V\right] = \mathbb{K}\left[X_1, ..., X_n\right]/I(V) = \mathbb{K}\left[X_1, ..., X_n\right]/\ker\phi \cong \mathcal{F}_{reg}(V)$$
Ya tenemos los objetos que, como veremos más adelante, formarán las categorías que mencionábamos al principio. De un lado, las variedades algebraicas afines sobre un cuerpo $\mathbb{K}$ algebraicamente cerrado. De otro, las $\mathbb{K}$-álgebras finitamente generadas y reducidas.
Una $\mathbb{K}$-álgebra es un anillo que, además, es un espacio vectorial sobre $\mathbb{K}$.
Decimos que una $\mathbb{K}$-álgebra $A$ es finitamente generada si existen elementos
$a_1, ..., a_k \in A$, tales que $A = \mathbb{K}\left[a_1, ..., a_k\right]$. En otras palabras,
si todo elemento de $A$ se puede expresar como combinación de potencias
de los $a_i$ con coeficientes en $\mathbb{K}$.
Decimos que una $\mathbb{K}$-álgebra $A$ es reducida si no tiene elementos nilpotentes no nulos.
Esto es, si no existe $0 \neq a \in A$ tal que $a^n = 0$ para algún $n \in \mathbb{N}$.
El anillo de coordenadas de una variedad algebraica afín $V$ es una $\mathbb{K}$-álgebra finitamente generada y reducida (en adelante f.g,r.): es finitamente generada porque $\mathbb{K}\left[V\right] = \mathbb{K}[\overline{X}_1, ..., \overline{X}_n]$ donde $\overline{X}_i$ es la clase de $X_i$ en el cociente $\mathbb{K}\left[V\right] = \mathbb{K}\left[X_1, ..., X_n\right]/I(V)$. Además, $\mathbb{K}\left[V\right]$ es reducida porque si $f:V \rightarrow \mathbb{K}$ es una función regular tal que $f^n = 0$ para algún $n$, esto significa que en cada $x \in V$ es $f^n(x) = 0$, y como $\mathbb{K}$ es un dominio de integridad, necesariamente $f(x) = 0$ en cada $x \in V$, esto es, $f = 0$. Por tanto todo elemento nilpotente de $\mathbb{K}[V]$ debe ser nulo.
Una vez vistos los objetos de las categorías, vayamos a por los morfismos. Los morfismos de las $\mathbb{K}$-álgebras f.g.r. son, naturalmente, los homomorfismos de $\mathbb{K}$-álgebras, que son los homomorfismos de anillos que también son aplicaciones lineales. ¿Cuáles son, entonces, los morfismos de las variedades algebraicas afines?
Sean $V \subseteq \mathbb{K}^n$ y $W \subseteq \mathbb{K}^m$ variedades algebraicas afines. Sea $F:V \rightarrow W$ una aplicación. Decimos que $F$ es un morfismo de variedades algebraicas afines si existen polinomios $f_1, ..., f_m \in \mathbb{K}\left[X_1, ..., X_n\right]$ tales que para todo $x \in V$, $F(x) = (f_1(x), ..., f_m(x))$.
Es decir, que los morfismos entre variedades algebraicas afines son restricciones de aplicaciones $f:\mathbb{K}^n \rightarrow \mathbb{K}^m$ de tal modo que las $m$ componentes de $f$ son polinomios en $n$ variables.
Así pues, tenemos la categoría $\mathcal{C}$ de variedades algebraicas afines y morfismos de variedades algebraicas afines, y la categoría $\mathcal{D}$ de $\mathbb{K}$-álgebras f.g.r. y homomorfismos de $\mathbb{K}$-álgebras. ¿Cómo es el functor que las relaciona? Como ya hemos visto, a cada variedad algebraica afín se le puede asociar la $\mathbb{K}$-álgebra f.g.r. $\mathbb{K}[V]$. Esta es la manera en la que el functor actuará sobre los objetos. ¿Cómo actúa el functor sobre los morfismos de variedades?
Si $F:V \rightarrow W$ es un morfismo de variedades algebraicas afines, entonces $F$ induce un homomorfismo de $\mathbb{K}$-álgebras $F^\#:\mathbb{K}[W] \rightarrow \mathbb{K}[V]$ que está dado, para $f \in \mathbb{K}[W]$, por $F^\#(f) = f \circ F \in \mathbb{K}[V]$. Se cumplen, además, las siguientes propiedades, que indican el carácter functorial contravariante de esta relación:
- Si $F:V_1 \rightarrow V_2$ y $G:V_2 \rightarrow V_3$ son morfismos de variedades, entonces $G \circ F:V_1 \rightarrow V_3$ es un morfismo de variedades y $(G \circ F)^\# = F^\# \circ G^\#$.
- Si $1_V:V \rightarrow V$ es la identidad en $V$ y $1_{\mathbb{K}[V]}$ es la identidad en $\mathbb{K}[V]$, entonces $1_V^\# = 1_{\mathbb{K}[V]}$.
Ya tenemos, entonces, un functor contravariante $\Phi:\mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}$, dado por $\Phi(V) = \mathbb{K}[V]$ y $\Phi(F) = F^\#$. Lo interesante de este asunto es que si $\mathbb{K}$ es algebraicamente cerrado, a este functor $\Phi$ le podemos dar la vuelta: podemos asociar a cada $\mathbb{K}$-álgebra f.g.r. una variedad algebraica afín y a cada homomorfismo de $\mathbb{K}$-álgebras, un morfismo de variedades. Empezaremos con la primera afirmación.
Sea $A$ una $\mathbb{K}$-álgebra f.g.r. con $\mathbb{K}$ algebraicamente cerrado. Pongamos que $A$, al ser finitamente generada, puede escribirse como $A = \mathbb{K}[a_1, ..., a_n]$. Consideremos el homomorfismo sobreyectivo
$$\phi:\mathbb{K}\left[X_1, ..., X_n\right] \rightarrow \mathbb{K}[a_1, ..., a_n]$$
dado por $\phi(f) = f(a_1, ..., a_n)$. Entonces $I := \ker\phi$ es un ideal de $\mathbb{K}\left[X_1, ..., X_n\right]$ por ser $\phi$ un homomorfismo de anillos. Además, como $A$ es reducida, $I = \sqrt{I}$, ya que si $f \in \sqrt{I}$, esto significa que $f \in \mathbb{K}\left[X_1, ..., X_n\right]$ y $f^n \in I$ para algún $n$, luego $f^n(a_1, ..., a_n) = 0$ y $f(a_1, ..., a_n) = 0$ por ser $A$ reducida, así que $f \in I$. El otro contenido, $I \subseteq \sqrt{I}$, se obtiene trivialmente porque todo ideal está contenido en su radical tomando $n = 1$. Finalmente, como $\mathbb{K}$ es algebraicamente cerrado, el Teorema de los ceros de Hilbert se aplica y
$$I = \sqrt{I} = I(V(I))$$
por lo que $I$ corresponde unívocamente a la variedad algebraica afín $V = V(I)$, que es la variedad buscada y $\mathbb{K}[V] \cong A$.
Vamos ahora a revertir la flecha del functor $\Phi$ para los morfismos. Supongamos que $f:B \rightarrow A$ es un homomorfismo de $\mathbb{K}$-álgebras f.g.r. Como acabamos de ver, existen variedades algebraicas afines $V$ y $W$ tales que $A \cong \mathbb{K}[V]$ y $B \cong \mathbb{K}[W]$, por lo que podemos ver el homomorfismo $f$ como $f:\mathbb{K}[W] \rightarrow \mathbb{K}[V]$. Queremos construir un morfismo de variedades algebraicas afines $F:V \rightarrow W$ tal que $F^\# = f$. Para ello, dado un punto $x \in V$, tenemos que decir quién es $F(x) \in W$. Nos apoyamos en los siguientes resultados:
Sea $V$ una variedad algebraica afín. Entonces $I(V)$ es un ideal maximal de
$\mathbb{K}[X_1, ..., X_n]$ si, y sólo si, $V$ es un único punto.
Si $V = \{p\}$ es un punto, entonces
$$ev_p:\mathbb{K}\left[X_1, ..., X_n\right] \rightarrow \mathbb{K}$$
dado por $f \mapsto f(p)$, es un homomorfismo sobreyectivo de anillos, luego $\mathbb{K}\left[X_1, ..., X_n\right]/I(\{p\}) \cong \mathbb{K}$ por el Primer teorema de isomorfía, y $I(\{p\})$ es maximal usando que en un anillo $A$, un ideal $I$ es maximal si, y sólo si, $A/I$ es un cuerpo. La otra implicación es más larga y aburrida, y por eso no la voy a poner aquí.
Sea $f:B \rightarrow A$ un homomorfismo de anillos. Si $\mathcal{M} \subseteq A$ es un ideal maximal de $A$,
entonces $f^{-1}(\mathcal{M}) \subseteq B$ es un ideal maximal de $B$.
La demostración de este hecho se puede encontrar en libros de álgebra básica. Usando estos dos resultados, si $x \in V$, consideramos $\mathcal{M}_x$ el ideal maximal asociado a $x$. Entonces $f^{-1}(\mathcal{M}_x)$ es un ideal maximal, luego será el ideal de un punto $y \in W$. De este modo, ponemos $F(x) = y$, o, en versión extendida,
$$F(x) = V(f^{-1}(I(\{x\}))) = y \in W$$
Si uno hace la comprobación, se convence de que este procedimiento asocia a cada morfismo $f$ de $\mathbb{K}$-álgebras, un único morfismo $F$ de variedades algebraicas afines tal que $F^\# = f$.
Con todo lo anterior, tenemos una correspondencia biyectiva entre $\mathcal{C}$ y $\mathcal{D}$, donde dos variedades algebraicas $V$ y $W$ son isomorfas si, y sólo si, sus anillos de coordenadas $\mathbb{K}[V]$ y $\mathbb{K}[W]$ son isomorfos. Es decir, tenemos lo que se llama una equivalencia de categorías entre $\mathcal{C}$ y $\mathcal{D}^{opp}$, por lo que ambas categorías son duales la una de la otra.
En este sentido, el estudio de la geometría algebraica de las variedades afines es dual al estudio en álgebra conmutativa de las $\mathbb{K}$-álgebras f.g.r. De hecho, cuando uno estudia variedades algebraicas proyectivas, que son como las variedades afines pero viviendo en el espacio proyectivo $\mathbb{P}^n_\mathbb{K}$, el estudio local de las variedades puede hacerse tomando lo que se llaman cartas afines, que es una forma de coger un trozo del espacio proyectivo isomorfo al espacio afín, y hablar ahí en términos afines. Consecuentemente, podría decirse que el álgebra conmutativa es a la geometría algebraica como el análisis es a la geometría diferencial.
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