Interpretación geométrica de la torsión

Dada una variedad riemanniana $(M,g)$, sabemos que la conexión de Levi-Civita $\nabla$ es simétrica, es decir, se verifica que para toda curva diferenciable $\alpha:I \rightarrow M$ y cada par de campos de vectores $X,Y$ a lo largo de $\alpha$,
$$\nabla_XY - \nabla_YX = [X,Y]$$
Ahora bien, supongamos que tenemos otra conexión $D$ sobre $M$ que no verifica esta condición. Definimos el tensor de torsión como
$$T(X,Y) = D_XY - D_YX - [X,Y]$$
de modo que podemos expresar la condición anterior como que la conexión de Levi-Civita tiene torsión cero, pero la conexión $D$ tiene torsión no nula. Se puede probar que para cualquier conexión afín $D$ sobre $M$, existe un tensor $A$ de tipo $(2,1)$ tal que
$$D_XY = \nabla_XY + A(X,Y)$$
Entonces, podemos calcular la torsión de $D$:
$$T(X,Y) = D_XY - D_YX - [X,Y] = $$
$$= \nabla_XY + A(X,Y) - \nabla_XY - A(X,Y) - [X,Y] = A(X,Y) - A(Y,X)$$
Luego $D$ tiene torsión $0$ (es simétrica) si, y sólo si, $A(X,Y) - A(Y,X) = 0$, si y sólo si, por definición, $A$ es un tensor simétrico. Por otro lado, dada una geodésica $\gamma:I \rightarrow M$ para la conexión de Levi-Civita, se verifica por definición que $\nabla_{\gamma'}\gamma' = 0$, luego
$$D_{\gamma'}\gamma' = \nabla_{\gamma'}\gamma' + A(\gamma',\gamma') = A(\gamma',\gamma')$$
y entonces $\gamma$ es una geodésica para $D$ si, y sólo si, $A(\gamma',\gamma') = 0$, si y sólo si $A$ es un tensor antisimétrico. Con lo anterior, se deduce que $D$ define las mismas geodésicas que la conexión de Levi-Civita y tiene torsión cero si, y sólo si, $A$ es simétrico y antisimétrico, lo que ocurre sólo si $A$ es idénticamente nulo, en cuyo caso $D$ es precisamente la conexión de Levi-Civita.
Ahora bien, dada una conexión $D$ que define las mismas geodésicas que la conexión de Levi-Civita, ¿cómo se interpreta geométricamente que tenga torsión no nula? Intentaremos dar una idea con un pequeño ejemplo.

Consideramos $\mathbb{R}^3$ como espacio afín con la métrica euclídea usual. Para fabricar una conexión que tenga las mismas geodésicas que la conexión de Levi-Civita en $\mathbb{R}^3$ (las rectas afines), pero que tenga torsión no nula, debemos escoger un tensor $A$ antisimétrico. Tomaremos, por ejemplo, el producto vectorial
$$A(\partial_i,\partial_j) = \partial_i\times\partial_j = \sum_k (\delta_{i\sigma(k)}\delta_{j\sigma^2(k)}-\delta_{i\sigma^2(k)}\delta_{j\sigma(k)})\partial_k$$
para $i, j, k = 1, 2, 3$ y donde $\sigma = (123) \in \Sigma_3$. Entonces los coeficientes de estructura de la nueva conexión $D$ (reservamos "símbolos de Christoffel" para la conexión de Levi-Civita) son
$$\hat{\Gamma}_{ij}^k = \delta_{i\sigma(k)}\delta_{j\sigma^2(k)}-\delta_{i\sigma^2(k)}\delta_{j\sigma(k)}$$
Observar que, como todos los coeficientes son constantes, la curvatura de la variedad sigue siendo $0$, ya que la curvatura se expresa en términos de las derivadas de los coeficientes $\hat{\Gamma}_{ij}^k$.
La curva $\alpha:I \rightarrow \mathbb{R}^3$ dada como $\alpha(s) = (0,0,s)$, que recorre el eje $z$, es una geodésica para la conexión de Levi-Civita, pero también para la conexión $D$ por ser $A$ antisimétrico. Dada la base de $T_{\alpha(0)}\mathbb{R}^3$
$$B_{\alpha(0)} = (\partial_1|_{\alpha(0)}, \partial_2|_{\alpha(0)}, \partial_3|_{\alpha(0)})$$
el transporte paralelo a lo largo de $\alpha$ hasta el punto $\alpha(s)$ en la conexión de Levi-Civita es el paralelismo usual euclídeo $B_{\alpha(s)}$, pero no lo es para la conexión $D$. En efecto, las ecuaciones del transporte paralelo para $D$
$$\frac{dZ^k}{ds} + \sum_{ij}(\hat{\Gamma}_{ij}^k \circ \alpha)\frac{d(x^i \circ \alpha)}{ds}Z^j = 0\ \ \ \ \ \ k = 1, 2, 3$$
quedan simplemente
$$\frac{dZ^1}{ds} - Z^2 = 0,\ \ \ \frac{dZ^2}{ds}+Z^1 = 0,\ \ \ \frac{dZ^3}{ds} = 0$$
y resolviendo, obtenemos que los campos paralelos asociados correspondientes a $B_{\alpha(0)}$ son

$$X_1(s) = \cos(s){\partial_1}|_{\alpha(s)} + \sin(s){\partial_2}|_{\alpha(s)}$$
$$X_2(s) = \sin(s){\partial_1}|_{\alpha(s)} + \cos(s){\partial_2}|_{\alpha(s)}$$
$$X_3(s) = \partial_3|_{\alpha(s)}$$
Lo cual significa que el triedro $B_{\alpha(0)}$ va rotando sobre el eje $z$ a medida que se desplaza por él. La torsión es capaz de describir que una partícula que se desplaza a lo largo de una geodésica en una variedad plana, está girando sobre sí misma, hecho que no es capaz de describir la conexión de Levi-Civita, que tiene torsión cero.

El interés de considerar conexiones con torsión surge en la Relatividad General. Einstein decretó que la conexión considerada en las variedades sería la de Levi-Civita, i.e. con torsión cero, ya que pensaba que la torsión no era necesaria para su modelo y que permitir torsión llevaba a unas ecuaciones de campo más sucias, a una teoría menos simple. Además, resulta que comprobar los efectos de la torsión experimentalmente es, al parecer, algo muy complicado.

Por otra parte, la Relatividad General de Einstein no es capaz de describir el intercambio entre el momento angular intrínseco y el momento orbital, cosa que es posible en un modelo de Relatividad General con torsión. Por ello, Élie Cartan propuso un modelo relativístico con torsión en su teoría de Einstein-Cartan, que durante un tiempo se consideró candidata a ser una teoría de gravitación compatible con la mecánica cuántica, pero que, eventualmente, a causa de los problemas con los experimentos y de lo complicadas que se volvían las ecuaciones, cayó en el olvido.