Dada una variedad riemanniana $(M,g)$, sabemos que la conexión de Levi-Civita $\nabla$ es simétrica, es decir, se verifica que para toda curva diferenciable $\alpha:I \rightarrow M$ y cada par de campos de vectores $X,Y$ a lo largo de $\alpha$,
$$\nabla_XY - \nabla_YX = [X,Y]$$
Ahora bien, supongamos que tenemos otra conexión $D$ sobre $M$ que no verifica esta condición. Definimos el tensor de torsión como
$$T(X,Y) = D_XY - D_YX - [X,Y]$$
de modo que podemos expresar la condición anterior como que la conexión de Levi-Civita tiene torsión cero, pero la conexión $D$ tiene torsión no nula. Se puede probar que para cualquier conexión afín $D$ sobre $M$, existe un tensor $A$ de tipo $(2,1)$ tal que
$$D_XY = \nabla_XY + A(X,Y)$$
Entonces, podemos calcular la torsión de $D$:
$$T(X,Y) = D_XY - D_YX - [X,Y] = $$
$$= \nabla_XY + A(X,Y) - \nabla_XY - A(X,Y) - [X,Y] = A(X,Y) - A(Y,X)$$
Luego $D$ tiene torsión $0$ (es simétrica) si, y sólo si, $A(X,Y) - A(Y,X) = 0$, si y sólo si, por definición, $A$ es un tensor simétrico. Por otro lado, dada una geodésica $\gamma:I \rightarrow M$ para la conexión de Levi-Civita, se verifica por definición que $\nabla_{\gamma'}\gamma' = 0$, luego
$$D_{\gamma'}\gamma' = \nabla_{\gamma'}\gamma' + A(\gamma',\gamma') = A(\gamma',\gamma')$$
y entonces $\gamma$ es una geodésica para $D$ si, y sólo si, $A(\gamma',\gamma') = 0$, si y sólo si $A$ es un tensor antisimétrico. Con lo anterior, se deduce que $D$ define las mismas geodésicas que la conexión de Levi-Civita y tiene torsión cero si, y sólo si, $A$ es simétrico y antisimétrico, lo que ocurre sólo si $A$ es idénticamente nulo, en cuyo caso $D$ es precisamente la conexión de Levi-Civita.
Ahora bien, dada una conexión $D$ que define las mismas geodésicas que la conexión de Levi-Civita, ¿cómo se interpreta geométricamente que tenga torsión no nula? Intentaremos dar una idea con un pequeño ejemplo.
