miércoles, 18 de abril de 2012

Teoría diferencial de Galois

A menudo cuando estamos haciendo integrales nos encontramos con funciones que no tienen una "primitiva elemental", como es el caso de $\int e^{x^2} dx$. Esto no significa que la función $e^{x^2}$ no se pueda integrar, pero digamos que no podemos escribirla como una combinación de funciones racionales, senos, cosenos, logaritmos y cosas así.Enlace
De igual manera, cuando estamos resolviendo una ecuación diferencial $y = f(x,y', y^{(2)}, ..., y^{(n)})$, a pesar de que el teorema de Picard-Lindelöff nos jure por los axiomas de las matemáticas que existe una única solución definida en un entorno de las condiciones iniciales, muchas veces no existe una forma de expresar esa función en términos elementales.



Consideremos, por ejemplo, las ecuaciones

$y'' = {1 \over x^2}y$ (1)
$y'' = xy$ (2)

La ecuación (1) tiene una solución que podemos expresar en términos de funciones elementales. Concretamente, $y(x) = c_1x^{{1 \over 2}(1+\sqrt{5})}+c_2x^{{1 \over 2}(1-\sqrt{5})}$. Sin embargo, la segunda ecuación (2), aparentemente más sencilla, es la famosa ecuación de Airy, cuya solución está garantizada por el teorema de Picard-Lindelöff, pero que no podemos expresar como combinación de funciones elementales.

Para la exposición que vamos a hacer aquí, trabajaremos sobre el cuerpo de los complejos $\mathbb{C}$ y con funciones siempre holomorfas (para el que no haya estudiado variable compleja, las funciones holomorfas son las funciones analíticas complejas, funciones que se comportan aún mejor que las funciones de clase $\mathcal{C}^{\infty}$, ya que, de hecho, toda función holomorfa es $\mathcal{C}^{\infty}$, pero no al revés). Es sabido que si tenemos un sistema lineal de ecuaciones $y' = A(x)y$ donde las entradas de la matriz $A(x)$ son funciones holomorfas definidas en un abierto $U \subset \mathbb{C}$, el teorema de existencia y unicidad garantiza que dado $x_0 \in U$, una bola $B(x_0,r) \subset U$ y $y_0\in \mathbb{C}$, existe una única solución $y(x)$ del sistema definida en todo $B(x_0,r)$ tal que $y(x_0) = y_0$. En particular, si las entradas de la matriz $A(x)$ son funciones enteras (holomorfas definidas en todo $\mathbb{C}$), entonces la solución $y(x)$ es entera. De este hecho se deducen algunas consecuencias inmediatas. Por ejemplo, que el conjunto de soluciones del sistema es un $\mathbb{C}$-espacio vectorial de dimensión $n$, isomorfo a $\mathbb{C}^n$, o que si $U$ es simplemente conexo, la solución puede extenderse de la bola a todo $U$.

Estas ideas sobre espacios vectoriales que se construyen a partir de soluciones de una ecuación, tendría que sonarnos a algo. Tendría que sonarnos a teoría de Galois, de la que ya hablamos aquí, y cuya idea era construir extensiones de cuerpos a partir de una ecuación algebraica y estudiar una biyección entre los cuerpos intermedios y subgrupos de $\Sigma_n$ para estudiar la ecuación. Paralelamente al desarrollo de la teoría de Galois algebraica, se desarrolla la teoría de Galois diferencial, a imitación de la primera. En la teoría de Galois algebraica veíamos que en ocasiones las raíces de un polinomio (i.e. las soluciones de una ecuación algebraica) no estaban en el cuerpo de los coeficientes (normalmente $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$), sino que vivían en unos cuerpos más grandes que nos inventábamos. Por ejemplo, las raíces del polinomio $X^2+1 \in \mathbb{Q}[X]$ existen (así lo garantiza el teorema fundamental del álgebra), pero no viven en $\mathbb{Q}$, sino que viven en un cuerpo más grande: $\mathbb{C}$. Análogamente, las soluciones a ecuaciones diferenciales que no se pueden expresar como combinaciones de los coeficientes (funciones elementales), existen, pero existen en un sitio más grande. En la teoría diferencial de Galois, en lugar de trabajar con cuerpos y extensiones de cuerpos, trabajaremos con cuerpos diferenciales y extensiones diferenciales.

Definición. Sea $A$ un anillo conmutativo. Una derivación del anillo es una aplicación $\partial:A \rightarrow A$ lineal y que satisface la regla de Leibniz. Es decir, para todo $x,y \in A$
  1. $\partial(x+y) = \partial(x) + \partial(y)$
  2. $\partial(xy) = \partial(x)y + x\partial(y)$

Para recordar la segunda propiedad (regla de Leibniz), podemos pensar que es como "la derivada de un producto". Un par $(A,\partial)$ donde $A$ es un anilllo conmutativo y $\partial$ una derivación en él se llama anillo diferencial. Análogamente se puede definir un cuerpo diferencial si $A$ es, además, un cuerpo. De la manera obvia se definen también los morfismos de anillos diferenciales: homomorfismos de anillos que conmuten con la derivación.

Si consideramos la derivación usual, tenemos varios ejemplos de anillos diferenciales:

  • El conjunto de funciones racionales complejas $\mathbb{C}(x)$. Es decir, funciones de la forma $f(x) = {p(x) \over q(x)}$ donde $p(x), q(x)$ son polinomios en $\mathbb{C}[x]$ y $q(x) \neq 0$.
  • El conjunto de series convergentes $\mathbb{C}\{x\}$.
  • El conjunto de series de potencias formales $\mathbb{C}[[x]]$.
  • El conjunto de funciones complejas de clase $\mathcal{C}^{\infty}$.

O bien algún anillo diferencial no usual: sea $p(x)$ un polinomio en $\mathbb{C}[x]$ y definimos $\partial$ como $\partial(z) = 0$ para todo $z \in \mathbb{C}$ (polinomios constantes), y $\partial(x) = p(x)$, extendiéndola por linealidad al resto de polinomios. Se puede comprobar (ejercicio para el lector) que esto es una derivación.

Al igual que hacíamos en la teoría de Galois algebraica, se definen las extensiones de anillos diferenciales.

Definición. Sean $S \subset R$ dos anillos diferenciales con derivaciones $\partial_S$ y $\partial_R$, respectivamente. Decimos que $R$ es una extensión diferencial de $S$ si $S$ es subanillo de $R$ y $\partial_R\Big |_S = \partial_S$.

Dado un anillo diferencial $(A,\partial)$, llamamos constantes a aquellos elementos $x \in A$ tales que $\partial(x) = 0$. Denotamos este conjunto por $C(A)$. No es difícil comprobar que el conjunto de constantes es siempre un subanillo de su anillo diferencial, y que, por tanto, todo anillo diferencial es una extensión diferencial de sus constantes.

Otro ejemplo de extensión diferencial es el siguiente: si tenemos un anillo diferencial $(A,\partial)$ que es además un dominio de integridad (como puede ser $\mathbb{C}[x]$), podemos extender la derivación a su cuerpo de cocientes como

$\partial({x \over y}) = {{y\partial(x)-x\partial(y)} \over y^2}$

obteniendo una derivación en el cuerpo de cocientes del anillo, que en este caso son precisamente las funciones racionales $\mathbb{C}(x)$.

En la teoría algebraica de Galois definíamos las extensiones de Galois, que eran un tipo especial de extensiones algebraicas en las que todas las raíces del polinomio eran movidas por algún elemento del grupo de automorfismos, de manera que las simetrías no colapsaban y se podía aplicar la teoría. Aquí definiremos su análogo: las extensiones de Picard-Vessiot.

Definición. Sea $(K,\partial)$ un cuerpo diferencial y $(S)$ un sistema de ecuaciones diferenciales con coeficientes en $K$. Decimos que una extensión $F$ de $K$ es una extensión de Picard-Vessiot para $(S)$ si se cumplen las siguientes condiciones:

  1. $dim_{C(F)}Sol_F(S) = n$
  2. $C(F) = C(K)$
  3. $F$ es la mínima extensión que cumple estas condiciones.

Para la primera condición, recordemos que el conjunto de soluciones de una ecuación lineal siempre es un espacio vectorial de dimensión $n$ sobre el cuerpo de constantes, y aquí $Sol_F(S)$ representa el conjunto de soluciones de $(S)$ en $F$. La segunda condición es algo más técnica, pero es importante, ya que si añadimos muchas constantes en la extensión, pueden ocurrir cosas no deseables. Por ejemplo, el conjunto de soluciones de $y'=0$ podría ser arbitrariamente grande.

Proposición. En las condiciones anteriores, si $C(K)$ es algebraicamente cerrado, entonces siempre existe una extensión de Picard-Vessiot.

Ejemplo. Consideremos la ecuación $y''+{1 \over x}y' = 0$ que tiene coeficientes en $K = \mathbb{C}(x)$. Una base de soluciones para esta ecuación es $\{1, log(x)\}$. Resulta que la solución $1$ sí está en el cuerpo diferencial, pero el logaritmo no, ya que no es una función racional. Por ello las soluciones de la ecuación viven todas en una extensión diferencial $\mathbb{C}(x,log(x))$, que bien podemos ver como una extensión diferencial $\mathbb{C}(x,y)$ donde imponemos la condición $y' = {1 \over x}$ para extender la derivación antigua.

Definición. Dado un cuerpo diferencial $K$ y una extensión diferencial $F$ de Picard-Vessiot para un sistema $(S)$, llamamos grupo de Galois de la extensión (o del sistema) al conjunto de automorfismos $\sigma:F \rightarrow F$ que dejan fijo $K$.

Como es de esperar por lo que ocurre con su análogo algebraico, el grupo de Galois es efectivamente, un grupo, pero además es un tipo especial de grupo: es un grupo algebraico. Generalmente, los grupos de Galois de extensiones como las que consideramos no serán, como en la teoría algebraica de Galois, subgrupos de permutaciones, sino grupos infinitos, normalmente subgrupos de matrices de GL$(n,\mathbb{C})$, grupos de Lie y cosas así.

Aquí también existe una correspondencia de Galois: existe una biyección entre las subextensiones diferenciales y los subgrupos algebraicos del grupo de Galois de la extensión, que a cada subextensión le asigna el subgrupo de elementos que la dejan fija, y a cada subgrupo algebraico la subextensión diferencial que fija.

A partir de aquí se podrían dar algunos ejemplos y profundizar algo más en la teoría, pero como este blog pretende ser un poco (poquito) divulgativo, no vamos a enredarlo más.

2 comentarios:

  1. "A partir de aquí se podrían dar algunos ejemplos y profundizar algo más en la teoría, pero como este blog pretende ser un poco (poquito) divulgativo, no vamos a enredarlo más."

    Anda a tomar por culo, hijo de la gran puta.

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