Definición. Sea $X$ un conjunto no vacío, y sea $\tau$ una familia de subconjuntos de $X$. Decimos que $\tau$ es una topología sobre $X$ si se cumplen las tres condiciones siguientes:
- $\emptyset, X \in \tau$.
- Para toda familia $\{ A_i\}_{i \in I}$ de elementos de $\tau$, su unión $\bigcup_{i\in I} A_i$ es un elemento de $\tau$.
- Para toda familia finita $\{A_1, A_2, ... A_n\}$ de elementos de $\tau$, su intersección $A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_n$ es un elemento de $\tau$.
En este caso diremos que el par $(X,\tau)$ es un espacio topológico y llamaremos abiertos a los elementos de $\tau$. En ocasiones, si la topología de $X$ es obvia, escribiremos simplemente "$X$ es un espacio topológico".
En otras palabras: el vacío y el total deben ser abiertos, la unión de una cantidad cualquiera (posiblemente infinita) de abiertos debe ser un abierto, y la intersección de una cantidad finita de abiertos debe ser abierto.
Diremos que un subconjunto de $X$ es cerrado si su complementario es un abierto. Observar que "ser abierto" y "ser cerrado" no son propiedades que se excluyan la una a la otra. De hecho en cualquier topología, $X$ es abierto por definición, y su complementario es $\emptyset$, que también es abierto por definición, por lo que $X$ también es cerrado, y la misma propiedad se tiene para $\emptyset$. Por tanto en un espacio topológico puede haber de todo: subconjuntos abiertos, cerrados, abiertos y cerrados, y que no sean ni abiertos ni cerrados.
Ejemplos:
Dado un conjunto no vacío $X$, la familia $\tau = \{X,\emptyset\}$ define una topología sobre $X$. Comprobamos que se cumplen las tres propiedades:
- $X \in \tau$ y $\emptyset \in \tau$.
- Una familia de abiertos con más de un elemento sólo puede ser $\{X,\emptyset\}$, y en este caso $X \cup \emptyset = X \in \tau$.
- Lo mismo para la intersección finita, $X\cap\emptyset = \emptyset \in \tau$.
Por tanto $\tau$ es una topología sobre $X$ que además tiene nombre, se llama topología trivial.
Dado un conjunto no vacío $X$, la familia de todos sus subconjuntos $P(X) = \{A | A \subseteq X\}$ define una topología sobre $X$. Lo comprobamos:
- $X$ es un subconjunto de $X$ y $\emptyset$ es un subconjunto de $X$, por lo que $X, \emptyset \in P(X)$.
- Dada cualquier familia de subconjuntos de $X$, su unión es un subconjunto de $X$, por lo que las uniones arbitrarias de abiertos son abiertos.
- Dada cualquier familia (finita o no) de subconjuntos de $X$, su intersección es un subconjunto de $X$, por lo que las intersecciones finitas de abiertos también son abiertos.
En esta topología, llamada topología discreta, todos los subconjuntos de $X$ son abiertos.
En $\mathbb{R}$ consideramos la familia de intervalos de la forma $(a,\infty) = \{x \in \mathbb{R} | x > a\}$ y le añadimos el vacío y el total, es decir, $\tau = \{(a,\infty) | a \in \mathbb{R}\}\cup\{\emptyset\}\cup\{\mathbb{R}\}$, y esto define una topología sobre $\mathbb{R}$. Esta topología no coincide con la topología usual que manejamos en $\mathbb{R}$, porque en secundaria nos dicen que un intervalo de la forma $(a,b)$ es abierto, pero este tipo de intervalos no son abiertos con esta topología.
La topología usual de $\mathbb{R}$ consiste en los intervalos de la forma $(a,b)$, todas las uniones que se puedan hacer con ellos, y el conjunto vacío.
Visto esto, entramos en lo que nos interesaba: el concepto de límite.
Definición. Sea $X$ un espacio topológico, y sea $(x_n)$ una sucesión de elementos de $X$. Decimos que un punto $x \in X$ es límite de la sucesión, o que la sucesión converge a $x$ si para todo abierto $U$ que contenga a $x$, existe $n_0\in \mathbb{N}$ tal que para todo $n \geq n_0, x_n \in U$.
En otras palabras, que para todo abierto que contenga a $x$, encontramos un término de la sucesión a partir del cual el resto de términos están contenidos en el abierto.
En espacios topológicos que no tienen buenas propiedades, el límite de una sucesión (si existe) ni siquiera tiene por qué ser único. Por ejemplo, si $(x_n)$ es una sucesión en un espacio topológico $X$ con la topología trivial y $x$ es un punto cualquiera de $X$, el único abierto que contiene a $x$ es el propio $X$, y todos los términos de la sucesión están contenidos en él, por tanto $x$ cumple las condiciones para ser límite de la sucesión $(x_n)$. Es decir, en un espacio topológico trivial cualquier sucesión converge a cualquier punto del espacio.
Si el espacio topológico es $T_2$ (o Hausdorff), el límite de una sucesión, si existe, es un único punto. Este es el caso de $\mathbb{R}^n$ con la topología usual.
Definición. Sea $X$ un conjunto no vacío. Una métrica o distancia sobre $X$ es una aplicación $d:X \times X\rightarrow \mathbb{R}$ que verifica las siguientes condiciones:
- Para todo $x, y \in X, d(x,y) \geq 0$.
- Para todo $x \in X, d(x,x) = 0$.
- Dados $x,y \in X$, si $d(x,y) = 0$, entonces $x = y$.
- $d(x,y) = d(y,x)$ para todo $x, y \in X$.
- $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$ para todo $x, y, z \in X$, lo que se llama la desigualdad triangular.
El par $(X,d)$ donde $X$ es un conjunto no vacío y $d$ es una métrica definida sobre $X$ se llama espacio métrico. Como en el caso de los espacios topológicos, a veces escribiremos simplemente "$X$ es un espacio métrico".
Por ejemplo, $\mathbb{R}^n$ es un espacio métrico con la aplicación $d:\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$ dada por $d(x,y) = ||x-y||$ donde $||.||$ simboliza la norma en $\mathbb{R}^n$, que en el caso $n=1$ es simplemente el valor absoluto.
En $\mathbb{R}$, la distancia entre -3 y 8 es |-3 - 8| = |-11| = 11. En general la distancia entre $a$ y $b$ es $|a-b|$. En $\mathbb{R}^3$ la distancia entre los vectores $(1,3,2)$ y $(2,-1,0)$ es $||(1,3,2) - (2,-1,0)|| = ||(-1,4,2)|| = \sqrt{(-1)^2+4^2+2^2} = \sqrt{21}$.
¿Y a qué viene esta definición de espacio métrico aquí? Pues a que toda métrica induce una topología sobre el espacio, y además es una "buena topología" en el sentido de que es una topología que satisface la propiedad de Hausdorff. ¿Cómo definimos esta topología?
Dado un punto $x_0\in X$ y un número real estrictamente positivo $r$, definimos la bola de centro $x_0$ y radio $r$ como $B(x_0,r) := \{x \in X | d(x_0,x)< r\}$. Si en un espacio métrico consideramos la familia de todas las bolas centradas en todos los puntos, con todos los radios posibles y todas las uniones e intersecciones finitas que se pueden hacer entre ellas, entonces obtenemos una topología que además es Hausdorff.
En particular en $\mathbb{R}^n$ la métrica define una topología, que en este caso, sí es la usual, porque de hecho esta es la manera en la que definimos la topología de $\mathbb{R}^n$.
De lo anterior surge una pregunta interesante: dado un espacio topológico $(X,\tau)$, ¿se puede definir una métrica en $X$ de manera que la topología inducida por la métrica coincida con la topología de $X$?. La respuesta es que no siempre. Los espacios topológicos que tienen esta propiedad se llaman espacios metrizables, y una de las cuestiones que aborda la topología es determinar si un espacio es metrizable o no, pero no hablaremos de esto aquí. Por ejemplo, si un espacio topológico no es Hausdorff, entonces no es metrizable, porque si fuera metrizable la topología de la métrica sería la misma que su topología, y la topología inducida por una métrica siempre da un espacio Hausdorff.
Ahora ya sabemos que en el caso de $\mathbb{R}$ los abiertos están dados por la métrica y podemos dar una definición de límite bastante más manejable:
Definición. Sea $(x_n)$ una sucesión de números reales. Decimos que $x$ es el límite de la sucesión, o que la sucesión converge a $x$ si se cumple que para todo $\varepsilon > 0$ existe un $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n \geq n_0$ se tiene que $|x_n - x|<\varepsilon$.
Alternativamente podemos expresar la última parte como "$x_n \in B(x,\varepsilon)$". Para entendernos, la sucesión $(x_n)$ converge a $x$ si la "cola" de la sucesión está tan cerca de $x$ como queramos.
En este sentido, cuando nos dan una sucesión $(x_n)$ de números reales y escribimos "$\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = \infty$", estamos abusando de la notación, ya que la sucesión no se está acercando a ningún punto de la recta real. Es decir, el límite no existe. Lo que estamos expresando con esta notación es lo siguiente:
Definición. Sea $X$ un espacio métrico y $(x_n)$ una sucesión de elementos de $X$. Decimos que la sucesión $(x_n)$ está acotada si existen $x \in X$ y $M > 0$ de forma que $x_n \in B(x,M) \forall n \in \mathbb{N}$.
Esto es, si podemos encontrar una bola que contenga a todos los términos de la sucesión. Por eso cuando escribimos $\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = \infty$, estamos diciendo dos cosas: por un lado, que el límite no existe, y por otro lado, que la sucesión no está acotada, ya que lo que queremos decir es que no hay ninguna bola (intervalo en el caso real) que contenga a la sucesión entera.
Por último hablaremos sobre la continuidad. En secundaria adquirimos la idea intuitiva de que una función es continua si podemos dibujar su gráfica sin levantar el lápiz del papel. Sin embargo la continuidad es una propiedad topológica. De hecho las funciones continuas son los morfismos propios de la categoría de espacios topológicos.
Definición. Sean $X$, e $Y$ espacios topológicos y $f:X \rightarrow Y$ una aplicación entre ellos. Decimos que $f$ es continua si para todo abierto $V$ de $Y$, su contraimagen $f^{-1}(V) = \{x \in X | f(x) \in V\}$ es un abierto en $X$.
¿Qué relación guarda la continuidad con los límites? Pues que podemos dar una caracterización de la continuidad de una función en términos de sucesiones y límites.
Teorema. Sean $X, Y$ espacios topológicos y $f:X \rightarrow Y$ una aplicación entre ellos. Entonces $f$ es continua si, y sólo si, para toda sucesión $(x_n)$ de elementos de $X$ que converge a un punto $x \in X$, se tiene que la sucesión de las imágenes $(f(x_n))$ converge en $Y$ a $f(x)$.
Este teorema es el que nos permite hacer las operaciones que hacemos habitualmente con las sucesiones y sus límites: suma, resta, multiplicación, división cuando el denominador no es cero, tomar raíces, etc. En principio, si tenemos dos sucesiones de números reales $(a_n)$ y $(b_n)$ que convergen respectivamente a $a$ y $b$, no podríamos decir alegremente que $\lim a_n + b_n = \lim a_n + \lim b_n = a+b$, pero podemos hacerlo porque la función suma es una función continua, por lo que $\lim +(a_n,b_n) = +(\lim a_n,\lim b_n) = +(a,b)$.
En ciertos espacios topológicos sí podemos hablar de límite infinito con todas sus letras. Por ejemplo, podemos imaginar que a $\mathbb{R}$ le añadimos un "punto del infinito" y definimos una nueva topología en $\mathbb{R}\cup\{\infty\}$. Este espacio se llama compactificación de Alexandroff de $\mathbb{R}$, y es homeomorfo (topológicamente equivalente) a la circunferencia. Como ahora $\infty$ sí es un elemento del espacio y tenemos una topología, sí que podemos hablar de que una sucesión "converge a $\infty$", pero no tiene sentido decirlo si hablamos de sucesiones en $\mathbb{R}$.
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