Grupos de Lie (II): La aplicación exponencial

En esta entrada quiero presentar la aplicación exponencial de un grupo de Lie, uno de esos objetos que aparecen de vez en cuando en matemáticas y que, mágicamente, conectan otros objetos que intuíamos relacionados, pero sin terminar de ver bien el bosque. Se trata de una aplicación que se puede definir en cualquier álgebra de Lie asociada a un grupo de Lie, y que permite reconstruir completamente un grupo de Lie (en el caso conexo) a partir de su álgebra de Lie. En el caso del grupo de Lie $\mathbb{R}^* = \mathbb{R}\setminus \{0\}$, la aplicación exponencial será la exponencial real $e^t$ que todos conocemos, y en el caso de las matrices, será la exponencial matricial $e^A$ que conocerá todo aquel que sepa resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

El problema

Escribo esto para desahogarme un poco y también porque hacerlo público puede ayudarme a encontrar alguna respuesta a estas cuestiones que me planteo.

Intuición geométrica para esquivar el argumento cosmológico

Una de las cosas que me han aportado las matemáticas es la costumbre de no fiarme siempre de la intuición. No siempre las cosas son lo que parecen, y así, aunque parezca que la Tierra es plana, no lo es. En términos topológicos, podemos decir que la Tierra es una esfera (más bien, una bola), y que por lo tanto es localmente plana, es decir, que en cada punto de la Tierra existe un entorno de ese punto homeomorfo a un trozo de plano. Un señor que está en un punto cualquiera del planeta sólo puede ver su naturaleza en un abierto de la variedad, pero no puede verla entera (porque una esfera es compacta, luego no admite una carta global).

Con esta observación acabamos de romper un prejuicio fruto de la intuición. Hemos dado un contraejemplo a la afirmación "si se conocen las propiedades locales, entonces se conocen las propiedades globales", por lo que esta afirmación no es cierta, y tenemos la nueva afirmación "en general, no podemos deducir propiedades globales a partir de propiedades locales". De este modo hemos desmentido algo a lo que, en la antigüedad, los hombres daban un valor de verdad tan grande como a que dos y dos son cuatro. Sin pretender sonar demasiado metafísico, lo que quiero exponer es un motivo para dudar sobre las premisas del llamado arguento cosmológico, a las que mucha gente podría dar un valor de verdad tan grande como a que dos y dos son cuatro. El motivo no es nada nuevo, puede encontrarse en muchos sitios, pero he estado leyendo sobre ello esta tarde y a mí me ha resultado muy claro. Por eso quiero compartirlo.

[Trabajo] Grupos de Lie

Al fin he terminado mi tabajo sobre grupos de Lie para mi asignatura de Topología Diferencial, así que dejo aquí el enlace de descarga (Netkups), por si alguien quiere echarle un vistazo.

Link

Edit: si en el futuro la descarga no está disponible y hay alguien interesado en el trabajo, que me lo diga en un comentario y lo resubiré.

Una aproximación intuitiva a la conjetura de Poincaré diferenciable

Cualquiera que esté medianamente al tanto de la actualidad científica, y en particular, matemática, habrá oído hablar alguna vez de la famosa conjetura de Poincaré, que dice lo siguiente:

Toda variedad diferenciable de dimensión $3$, cerrada y simplemente conexa es homeomorfa a la esfera $\mathbb{S}^3$.

 La conjetura no es tal, es un teorema demostrado en 2002 por Perelman, tristemente famoso por el revuelo que causó al rechazar el premio de un millón de dólares que le concedía el Instituto Clay por la resolución de la conjetura (era uno de los Millenium Prize), así como la Medalla Fields.

 En esta entrada introduciremos brevemente el significado de la conjetura de Poincaré para plantear una conjetura muy relacionada y aún sin resolver: la conjetura diferenciable de Poincaré, que dice:

Toda variedad diferenciable de dimensión $4$, cerrada y simplemente conexa es difeomorfa a la esfera $\mathbb{S}^4$.

Teoría diferencial de Galois

A menudo cuando estamos haciendo integrales nos encontramos con funciones que no tienen una "primitiva elemental", como es el caso de $\int e^{x^2} dx$. Esto no significa que la función $e^{x^2}$ no se pueda integrar, pero digamos que no podemos escribirla como una combinación de funciones racionales, senos, cosenos, logaritmos y cosas así.
De igual manera, cuando estamos resolviendo una ecuación diferencial $y = f(x,y', y^{(2)}, ..., y^{(n)})$, a pesar de que el teorema de Picard-Lindelöff nos jure por los axiomas de las matemáticas que existe una única solución definida en un entorno de las condiciones iniciales, muchas veces no existe una forma de expresar esa función en términos elementales.

La teoría de Galois

Évariste Galois fue un matemático francés del siglo XIX, uno de estos genios que mueren jóvenes habiendo hecho grandes cosas y dejándonos sin saber muy bien qué podrían haber llegado a hacer de haber vivido más tiempo. Se considera a Galois uno de los padres de la teoría de grupos, que estudia, por ejemplo, la estructura que tienen los movimientos que dejan invariante un cuadrado en el plano (rotación, reflexión por la horizontal, reflexión por la diagonal...) como estructuras algebraicas, y más en general, los invariantes geométricos.

Lo que Galois descubrió es que existe una estructura elegante que rige la manera en la que se pueden intercambiar las raíces de un polinomio. Una forma de pasar del mundo continuo de los cuerpos al mundo discreto de los grupos, y viceversa. Lamentablemente, Galois murió a la edad de 20 años en un duelo, según se dice, debido a un lío de faldas.

En esta entrada se intentará dar una aproximación intuitiva a su teoría para saber de qué trata, y cómo gracias a ella se pueden resolver fácilmente algunos problemas clásicos de los griegos (duplicación del cubo, trisección del ángulo, cuadratura del círculo), así como el teorema de Abel-Ruffini que dice que, en general, no podemos resolver ecuaciones polinómicas de grado cinco o superior por radicales, tal y como lo hacemos con las ecuaciones de grados dos, tres y cuatro.

¿Qué es contar?

Hoy trataremos de dar respuesta a esta pregunta tan interesante: ¿qué es contar? Un matemático, que se pasa los días contando cosas, no tendrá problema en dar la siguiente respuesta: contar los elmentos de un conjunto es establecer una biyección entre este conjunto y un subconjunto de los números naturales. Para entender bien qué significa esta frase necesitamos algunos conceptos previos.

Distribuyendo puntos en la esfera

Hoy voy a hablar de un problema abierto que conozco desde que un profesor mío que trabajaba sobre él me lo enseñó hace dos años, que me parece sencillo de comprender y no por ello menos interesante: se trata del problema número 7 de la lista de Smale.

La magia del lema de Zorn

Hace tiempo que me dijeron que todo espacio vectorial (de dimensión cualquiera) admite una base, y que para demostrarlo era necesario el Axioma de Elección (Axiom of Choice, AC) en el sentido de que si no añadiéramos este axioma a los axiomas de Zermelo-Fraenkel, existirían espacios vectoriales sin base, y claro, esto sería un auténtico desastre. Sin embargo hasta ahora no me había molestado en echar un vistazo a esta demostración, y como me ocurre casi siempre que veo una demostración que usa el AC, termino con la sensación de que la prueba se reduce a "lo hizo un mago".

La demostración no usa exactamente el AC, sino una caracterización suya: el lema de Zorn, que garantiza la existencia de elemento maximal para un conjunto pidiendo ciertas condiciones sobre una relación de orden definida en él. Ya que me he molestado en mirarlo, lo dejo aquí escrito a ver qué pensáis vosotros (en caso de que exista un "vosotros" porque sospecho que nadie me lee).

Sobre el concepto de límite

El concepto de límite de una función es algo que se enseña en secundaria, pero que no se enseña adecuadamente, y por eso es habitual que una persona que no ha estudiado nada de topología encuentre ciertas "incongruencias lógicas" tanto en la definición como en la manera de operar con los límites en el caso real. El límite es algo que se define en un contexto mucho más general de lo que se enseña en secundaria. Para definirlo lo único que necesitamos es un espacio topológico. Ahora bien, ¿qué es un espacio topológico? Pues es la manera que tenemos de definir qué es un subconjunto abierto de un conjunto.

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Hola mundo

No sé por qué me hago un blog siendo una persona tan sumamente inconstante, pero bueno, aquí queda.